《卷三》[查看正文] [修改] [查看歷史]

1	欽定四庫全書
2	測圓海鏡卷三
3	元　李冶　撰
4	邊股一十七問
5	或問乙出東門南行不知歩數而止甲出西門南行四百八十歩望見乙復就乙行五百一十步與乙相㑹問答同前
6	法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實得城徑
7	草曰識別得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五萬七千六百步為平方實如法開之得二百四十步即城徑也合問
8	或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅東行八十步望見甲問答同前
9	法曰倍南行步以東行步乘之為實東行歩為從方一步常法得全徑
10	草曰立天元一為全徑以減於二之甲南行步得□□為兩个大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑冪寄左然後以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平方開之得二百四十步即城徑也合問
11	又法半之乙東行步乘南行步為實半之乙東行步為從一步常法得半徑
12	草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪寄左然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問
13	或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲問答同前
14	法曰兩行步相乘為實南行步為從方一為隅得半徑
15	草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪寄左然後以天元冪與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問
16	或問甲出西門南行四百八十步乙出東門直行一十六步望見甲問答同前
17	法曰以四之東行步乗南行冪為實從空東行為亷一步為隅法得全徑
18	草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以為小股也內寄中勾分母乃復以中股乗之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪寄中勾分母寄左然後以天元徑自之又以中勾乘之得□□為同數與左相消得丨□□□以𢃄縱立方開之得二百四十步為城徑也合問
19	按不受除者無可除之理也凡二數此數於彼數有可除之理則受除無可除之理則不受除也蓋除有法有實實可二法不可二此題以中勾為法而中勾內有一元又有十六步其為數已二矣又何以均分不一之數乎故曰不受也寄分者姑寄其應除之數也俟求得兩相等數而此數內尚少一除不除此而轉乘彼則兩數仍相等猶之受除者也此所謂以乘代除也
20	或問乙出南門東行七十二步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前
21	法曰以乙東行冪乗甲南行為實乙東行冪為從方甲南行步內減二之東行步為益亷一步常法得半徑
22	草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為大勾內寄小股分母又置天元半徑以分母小股乘之得□□以減大勾得□□□為半个梯底於上以乙東行七十二步為半个梯頭以乘上位得□□□為半徑冪內寄小股分母寄左然後置天元冪又以分母小股乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
23	又法曰以二數相乘為實相減為從一虚法平開得半徑
24	草曰別得二數相併為大股內少一虚勾其二數相減為大差弦也立天元一為半徑副置之上位減於四百八十得□□為股圓差即大差股也下位加七十二得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積寄左再以大差勾減於大差股餘□□為較又加入大差弦四百單八共得□□為弦較共也以天元乘之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步即半徑合問　前法太煩故又立此法以就簡也
25	或問乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望見乙與城㕘相直又就乙行四百零八步與乙相㑹問答同前
26	法曰二行步相減以乘甲南行步為實甲東行步內減相減步為益方一步常法得半徑
27	草曰識別得二行相減餘七十二步即是乙出南門東行數也更不湏用弦遂立天元一為半城徑加乙東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此為大勾也內帶小股分母又倍天元以小股乘之得下式□□以減於大勾得□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁此勾圓差內已帶小股分母小股即股圓差也更不湏乘便以此為半段黃方冪更無分母也寄左乃以天元自之又倍之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門直行不知歩數而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相會問答同前
28	法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實從方空半斜行半南行相減得數加入南行步為隅法得半徑
29	草曰識別得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減餘六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓差也半之得□□□於上乃以天元減甲南行步得□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪寄左然後以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
30	按此問以小股為除法蓋因小股只一天元其數不二猶有可除之理也然得數降於實數之下者皆不可以命名至開方時仍湏各升一位以計之是兩邊各加一乘猶是寄分之理也
31	又法以二數差乘二數併開方得邊勾復以邊股乘之為實併二數而半之為法實如法得二百四十步即城徑此蓋用前勾上容圓法也
32	或問乙從乾地東行不知幾步而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前
33	法曰併二行數以二行差乘之內減二行差冪為實併二行步及二行差為從方二步常法得半徑草曰識別得二行相減餘二百步即半圓徑與小差勾之共數也立天元一為半城徑加於二百步得□□為大勾也又以天元加於甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪寄左乃置乙斜行六百八十步為大弦加入大股共得□□於上再置二行差內減天元得□□為小差勾即股弦較以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
34	又法求小差二行相減以自之又四之為實二行相減八之於上二之南行步內減二之二行相減數又以加上位為益方二步常法
35	草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪寄左然後以半城徑減於甲南行得□□又倍之得□□為兩个大差也又以天元乘之得□□○為同數與左相消得下式□□□以平方開之得八十步為小差也
36	或問乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直復就乙斜行二百五十五步與乙相㑹問答同前
37	法曰甲南行內減二之兩行差餘以乘甲南行又倍之為實二步為隅得半徑
38	草曰別得二行步相減餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除按此所謂不受除乃其數竒零不能盡非無可除之理也與前辭同而意異便以此為大勾內寄小股分母乃倍天元以小股乘之得□以減大勾餘丨□為一个小差於上內寄小股分母乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪內寄小股分母寄左然後倍天元以自之又以小股乘之得□□為同數與左相消得□○□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
39	按此題止用股弦求勾法即得城半徑其必展轉數次而後始得者益見其為發明立天元一之術使人易曉也後多有倣此者
40	或問乙出南門直行一百三十五步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前
41	法曰二行步相減餘以自乘內減乙行冪為實二之甲南行為益從一步常法得半徑
42	草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加乙行步併以減於甲行步得□□為股率乃置乙南行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此為小勾內寄股率分母又置乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此為大勾內寄股率分母以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪內帶股率冪為分母寄左然後置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
43	按此草得數為九百六十立方少一三乘方與十萬零八百平方等皆虛數也各降二位即如各以平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬零八百步等兩數等所降之位又等則兩數仍相等而實積步數乃出矣故可以帶縱平方開之也此係降位而得實數者與前升位而得實數者其理互相發明草中不言蓋以為不待於言也
44	或問甲乙二人同出西門向南行至西南十字道口分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前
45	法曰兩行相乘得數又以乙東行乘之為實二行相乘於上位又置乙東行以二行相減數乘之得數加上位為法
46	草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□□為大股也下位減於甲行步得□□為小股也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內寄小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得□□減於大勾得丨□□為半个矮梯底於上再置乙東行內減天元得下式□□為半个矮梯頭以乘上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相消得□□上法下實得一百二十步即城之半徑也合問
47	按草中相消法皆得兩邊數此獨得一邊二數蓋此條共數比彼條共數少一數又多一數為相等則多少二數其必為相等無疑矣多少數多者亦倣此此又相消法中之一變也
48	又法二行步相乘為實倍甲南行內減乙東行為法草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大勾餘□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁內已有小股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母寄左然後置天元冪以二之得□□為如積以左相消得□□上法下實得一百二十步即半城徑也合問
49	或問見邊股四百八十步□弦三十四步問答同前此題在甲乙二人同出西門南行至十字道乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望見乙與城㕘相直之後
50	法曰□弦乘邊股半之為實半□弦半邊股相併為從半步隅法平方得□股
51	草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾也又以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股相乘得□□□為半徑冪寄左然後以天元乘邊股得□為同數與左相消得下式□□□開平方得□股三十步以乘邊股開平方倍之即圓城徑也合問按此問原稿在三卷末
52	或問見邊股四百八十明弦一百五十三問答同前法曰二云數相減復倍之內減邊股復以邊股乘之於上又以明弦冪乘上位為實以邊股乘明弦冪又二之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減又倍之為第二益亷一常法開三乘方得明勾草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也以髙股減邊股餘□□為髙弦以倍之得□□為黃廣●也內減邊股得□□為□股復以邊股乘之得□□於上又以明弦自乘得二萬三千四百零九為分母以乘上位得□□為𢃄分半徑冪寄左然後置黃廣弦以天元乘之得□□復合以明弦除之不除寄為母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得□□□為同數與左相消得下式丨□□□□開三乘方得七十二步即明勾也餘各依法求之合問又法邊股內減二明弦以邊股乘之復以明弦冪乘之為三乘方實亷從並同前
53	草曰識別得二數相減餘為髙股虛弦共又為髙弦明勾共此餘數內又去半徑即明和也明和明弦相併即股圓差相減則明黃方也又倍明弦加明黃亦得股圓差也邊股內減明勾餘即大差弦也立天元一為明勾減於云數相減數得□□即髙弦也以髙弦減邊股得□□即髙股也以髙股減於云數相減數得□□即虛弦也以天元又減虛弦得□□即□股也乃置髙弦以天元乘之得□□合明弦除之不受除便以此為髙勾也即半徑髙勾自之得丨□□□為半徑冪內帶明弦冪分母寄左然後置邊股以□股乘之得□□為半徑冪又以明弦冪二萬三千四百零九分母通之得□□為同數與左相消得實從亷隅五層如前式
54	或問邊股四百八十步髙弦二百五十五步問答同前法曰以邊股減於二之髙弦復以邊股乘之開平方得半徑
55	草曰立天元一為半徑先倍髙弦內減邊股餘□復以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨□□開平方得數倍之即城徑也合問
56	或問邊股四百八十步平弦一百三十六步答問同前法曰置平弦以邊股再乘之為實以邊股自之為益從平弦為益亷一虚隅開立方得半徑
57	草曰別得平弦即皇極勾也立天元一為半徑副之上位加平弦得□□即邊勾也下位減於平弦得□□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之得□□為半徑冪內𢃄邊勾分母寄左然後以天元為冪以分母邊勾乘之得丨□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問邊股四百八十步明股明弦和二百八十八步問答同前
58	法曰以云之云數相減餘加邊股復以減餘乘之訖又折半於上又以減餘自之減上位為實併云數半之為法得明勾
59	草曰別得二數相減餘為大差勾立天元一為明勾減於大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虛勾於上又以半徑加邊股得□□為通股於下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪寄左然後以半徑冪丨□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問
60	或問見邊股四百八十步□勾□弦和五十步問答同前
61	法曰半邊股半和步相併得為泛率以汎半減邊股以自之又二之於上以和步乘泛率減上位為實以汎率減邊股六之於上內又加半个邊股三个和步為益從三步常法得□股
62	草曰別得和步得□股即小差也小差邊股共即二中差按此句誤立天元一為□股加和步得□□即小差也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差相併得□□即大差也以小差乘之得□□□為半段徑冪寄左然後置邊股內減大差得□□為半徑以自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得下式□□□開平方得三十步即□股也合問按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即勾股較小差即股弦較邊股即勾弦較與容圓半徑和若設勾二十股二十一弦二十九則勾弦較九容圓半徑六併之得十五為邊股股弦較八為小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍之僅得二則相差二十一矣是知細草乃因題數之偶合而誤非正法也今依其術另設法草於後以補其闕
63	法曰以□勾弦和自之邊股再乘為實倍邊股加□勾弦和再以□勾弦和乘之為從又倍□勾弦和減邊股餘為益亷一為隅𢃄縱立方開之得□股草曰別得邊股即髙股弦和□股即髙股弦差□股弦和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應以□勾弦和除之不除便以為□勾弦較內寄□勾弦和分母轉以□勾弦和自之得□為□勾弦和加□勾弦較得丨○□為倍□弦又以□勾弦和分母乘倍□股得□為倍□股與倍□弦相加得丨□□為倍□股弦和即倍平勾又於邊股內減□股得□□為倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓徑冪又以□勾弦和分母乘之得□為同數與左相消得丨□□□開帶縱立方得□股三十步合問
64	測圓海鏡卷三