1  | 欽定四庫全書 |
| 2 | 九章算術卷五 晋 劉 徽 注唐 李淳風 注釋 |
| 3 | 商功以御功程積實 |
| 4 | 今有穿地積一萬尺問為堅壤各幾何答曰為堅七千五百尺為壤一萬二千五百尺 |
| 5 | 術地穿地四為壤五 |
| 6 | 壤謂息土 |
| 7 | 為堅三 |
| 8 | 堅謂築土 |
| 9 | 為●四 |
| 10 | ●謂穿坑此皆其常率以穿地求壤五之求堅三之皆四而一今有術也 |
| 11 | 以壤求穿四之求堅三之皆五而一以堅求穿四之求壤五之皆三而一 |
| 12 | 淳風等按此術竝今有之義也重張穿地積一萬尺為所有數堅率三壤率五各為所求率墟率四為所有率而今有之即得 |
| 13 | 城垣隄溝壍渠皆同術 |
| 14 | 今有穿地袤一丈六尺深一丈上廣六尺為垣積五百七十六尺問穿地下廣㡬何答曰三尺五分尺之三術曰置垣積尺四之為實 |
| 15 | 穿地四為堅三垣堅也以堅求穿地當四之三而一也 |
| 16 | 以深袤相乘 |
| 17 | 為深袤之立實也 |
| 18 | 又三之為法 |
| 19 | 以深袤乘之立實除垣積即阬廣又三之者與堅率并除之 |
| 20 | 所得倍之 |
| 21 | 為阬有兩廣先并而半之即為廣狹之中平今先得其中平故又倍之知兩廣全也 |
| 22 | 減上廣餘即下廣 |
| 23 | 按此術穿地四為堅三垣即堅也今以堅求穿地當四乘之三而一深袤相乘者為深袤立幂以深袤立幂除積即阬廣又三之為法與堅率并除所得倍之者為阬有兩廣先并而半之為中平之廣今此得中平之廣故倍之還為兩廣并故減上廣餘即下廣也今有城下廣四丈上廣二丈高五丈袤一百二十六丈五尺問積㡬何答曰一百八十九萬七千五百尺今有垣下廣三尺上廣二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸問積㡬何答曰六千七百七十四尺今有隄下廣二丈上廣八尺高四尺袤一十二丈七尺問積㡬何答七千一百一十二尺 |
| 24 | 冬程人功四百四十四尺問用徒㡬何答曰一十六人一百一十一分人之二 |
| 25 | 術曰并上下廣而半之 |
| 26 | 損廣補狹 |
| 27 | 以高若深乘之又以袤乘之即積尺 |
| 28 | 按此術并上下廣而平之者以盈補虛得中平之廣以高若深乘之得一頭之五幂又以袤乘之者得立實之積故為積尺 |
| 29 | 以積尺為實積功尺數為法實如法而一即用徒人數今有溝上廣一丈五尺下廣一丈深五尺袤七丈問積㡬何答曰四千三百七千五尺春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四問用徒㡬何答曰七人三千六十四分人之四百二十七 |
| 30 | 術曰置本人功去其五分之一餘為法去其五分之一者謂以四乘五除也 |
| 31 | 以溝積尺為實實如法而一得用徒人數按此術置本人功去其五分之一者謂以四求之五而一除去出土之功取其定功乃道分內子以為法以分母乘溝積尺為實者法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數此以一人之積尺除其衆尺故用徒人數不盡者等數約之而命分也今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸問積㡬何答曰一萬九百四十三尺八寸 |
| 32 | 八寸者謂穿地方尺深八寸此積餘有方尺中二分四釐五毫棄之文欲從易非其常定也夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙礫水石之工作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四問用徒㡬何答曰四十七人三千四百八十四分人之四百九 |
| 33 | 術曰置本人功去其出土功五分之一又去沙礫水石之功太半餘為法以壍積尺為實實如法而一即用徒人數 |
| 34 | 按此術置本人功去其出土功五分之一者謂以四乘五除又去沙礫水石作太半者一乘三除存其少半取其定功乃通分內子以為法以分母乘壍積尺為實者為法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數不盡者等數約之而命分也今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積㡬何答曰一十七萬四千五百八十五尺六寸 |
| 35 | 秋程人功三百尺問用徒㡬何答曰三萬三千五百八十二人功內少一十四尺四寸 |
| 36 | 一千人先到問各當受袤㡬何答曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八 |
| 37 | 術曰以一人功尺數乘先到人數為實以一千人一日功為實立實為功并渠上下廣而半之以深乘之為法 |
| 38 | 以渠廣深之立實為功實如法得袤尺今有方堢壔 |
| 39 | 堢者堢城也壔音丁老反又音纛謂以土擁木也方一丈六尺高一丈五尺問積㡬何答曰三千八百四十尺 |
| 40 | 術曰方自乘以高乘之即積尺 |
| 41 | 今有圓堢壔周四丈八尺高一丈一尺問積㡬何答曰二千一百一十二尺 |
| 42 | 于徽術當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一 |
| 43 | 淳風等按依密率積二千一十六尺 |
| 44 | 術曰周自相乘以高乘之十二而一 |
| 45 | 此章諸術亦以周三徑一為率皆非也于徽術當以周自乗以高乗之又以二十五乗之三百一十四而一此之圓幂亦如圓田之幂也求幂亦如圓田而以高乗幂也 |
| 46 | 淳風等按依密率以七乗之八十八而一今有方亭下方五丈丄方四丈高五丈問積㡬何答曰一十萬一千六百六十六尺太半尺 |
| 47 | 術曰上下方相乗又各自乗并之以高乗之三而一此章有壍堵陽馬皆合而成立方葢說算者乃立棊三品以效高深之積假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵四四角陽馬四上下方相乗為三尺以高乗之約積三尺是為得中夾立方一四面壍堵各一上方自乗亦得中央立方一下方自乗為九以髙乗之得積九尺是為中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三也上方自乗以髙乗之得積一尺又為中央立方一凡三品棊皆一而為三故三而一得積尺用棊之數立方三壍堵陽馬各十二凡二十七棊十三更差次之而成方亭者三驗矣為術又可命方差自乘以高乘之三而一卽四陽馬也上下方相乗以髙乗之卽中央立方及四面壍堵也并之以為方亭積數也 |
| 48 | 今有圓亭下周三丈上周二丈髙一丈問積幾何答曰五百二十七尺九分尺之七 |
| 49 | 于微術當積五百四百七百七十一分尺之一百一十六也 |
| 50 | 淳風等按依密率為積五百三尺三十三分尺之二十六術曰上下周相乗又各乗并之以高乘之三十六一而一 |
| 51 | 此術周三徑一之義合以三除上下周各為上下徑以相乘又各自乗并以高乗之三而一為方亭之積假命三約上下周俱不盡還通之即各為上下徑令上下徑分母相乗又各自乘并以高乘之為三方亭之積分此合分母分相乘得九為法除之又三而一得方亭之積亦猶方幂中求圓幂乃令圓率三乘之方率四而一得圓亭之積前求方亭之積乃以三而一今求圓亭之積亦合三乘之二母既同故相準折准以方幂四乘分母九得三十六而連除之于徽術當上下周相乘又各自乘并以高乘之又二十五乘之九百四十二而一此方亭四角圓殺比于方亭二百分之一百五十七為術之意先作方亭三而一則此據上下徑為之者當又以一百五十七乗之六百而也也今據周為之若干圓堢壔又以二十五乗之三百一十四而一則先得三圓亭矣故以三百一十四為九百四十二而一併除之 |
| 52 | 淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一今有方錐下方二丈七尺髙二丈九尺問積幾何答曰七千四十七尺 |
| 53 | 術曰下方自乗以髙乗之三而一 |
| 54 | 按此術假令方錐下方二尺髙一尺即四陽馬如術為之用十二陽馬成三方錐故三而一得陽馬也今有圓錐下周三丈五尺髙五丈一尺問積幾何答曰一千七百三十五尺一十二分尺之五于徽術當積一千六百五十八尺三十一十四分尺之十三 |
| 55 | 淳風等按依密率為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七 |
| 56 | 術曰下周自乗以髙乗之三十六而一按此術圓錐下周以為方錐下方方錐下方令自乗以髙乘之合三而一得大錐方之積大錐方之積合十二圓矣今求一圓復合十二除之故令三乘十二得三十六而連除于徽術當下周自乘以髙乘之又以二十五乘之九百四十二而一圓錐此于方錐亦二百分之一百五十七令徑自乘者亦當以一百五十七乘之六百而一其說如圓亭也 |
| 57 | 淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一今有壍堵下廣二丈袤一十八丈六尺髙二丈五尺問積㡬何答曰四萬六千五百尺 |
| 58 | 術曰廣袤相乘以髙乘之二而一 |
| 59 | 斜斛立方得兩壍堵雖復橢方亦為壍堵故二而一此則合所規幂推其物體葢為壍上疊也其形如城而無上廣與所規棊形異而同實未開所以名之為壍堵之說也今有陽馬廣五尺袤七尺高八尺問積㡬何答曰九十三尺少半尺 |
| 60 | 術曰廣袤相乗以高乗之三而一 |
| 61 | 按此術陽馬之形方錐一隅也今謂四柱屋隅為陽馬假令廣袤各一尺髙一尺相乗得立方積一尺斜解立方得兩壍堵斜斛壍堵其一為陽馬一為鼈臑陽馬居二鼈臑居一不易之率也合兩鼈臑成一陽馬合三陽馬而成一立方故三而一驗之以棊其形露矣悉割陽馬凡為六鼈臑觀其割分則體勢互通葢易了也其棊或脩短或廣狹立方不等者分割分以為六鼈臑其形不悉相似然見數同積實均也鼈臑殊形陽馬異體則不純合不純合則難為之矣何則按斜解方棊以為壍堵者必當以半為分斜解壍堵以為陽馬者亦必當以半為分一從一橫耳設以陽馬為分內鼈臑為分外棊雖或隨脩短廣狹猶有此分常率知殊形異體亦同也者以此而已其使鼈臑廣袤髙各二尺用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使陽馬之廣袤髙各二尺用立方之棊一壍堵陽馬之棊各二皆用黒棊棊之赤黑接為壍堵廣袤髙各二尺于是中效其廣又中分其髙令赤黑壍堵各自適當一方髙二尺方二尺每二分鼈臑則一陽馬也其餘兩端各積本體合成一方焉是為别種而方者率居二通其體而方者率居一雖方隨棊改而固有常然之勢也按餘數具而可知者有一二分之别則一二之為率定矣其于理也豈虗矣若為數而窮之置餘廣袤高之數各半之則四分之三又可知也半之彌少其餘彌細至細曰微㣲則無形由是言之安取餘哉數而求窮之者謂以情推不用籌算鼈臑之物不同器用陽馬之形或隨脩短席狹然不有鼈臑無以審陽馬之數不有陽馬無以知錐亭之数功寔之主也 |
| 62 | 今有鼈臑下廣五尺無袤上袤四尺無廣高七尺問積㡬何答曰二十三尺少半尺 |
| 63 | 術曰廣袤相乗以高乘之六而一 |
| 64 | 按此術臑者背節也或曰半陽馬其形有似鼈肘故以名云中破陽馬得兩鼈臑鼈臑之見數卽陽馬之半數數同而寔據半故云六而一即得今有羨除下廣六尺土廣一丈深三尺末廣八及無深袤七尺問積㡬何答曰八十四尺 |
| 65 | 術曰并三廣以深乘之又以袤乘之六而一按此術羨除寔隧道也其所穿地上半下斜似兩鼈臑夾一壍堵即羨除之形假令用此棊上廣三尺深一尺下廣一尺末廣一尺無深袤一尺下廣即壍堵上廣者兩鼈臑與一壍堵相連之廣也以深袤乘得積五尺鼈臑居二壍堵居三其于本棊皆一為六故六而一合四陽馬以為方錐斜畫方錐之底亦令為中方就中方削而上合全為中方錐之半于是陽馬之棊悉中解矣中錐離而為四鼈臑焉故外錐之半亦為四鼈臑雖背正異形與常所謂鼈臑參不相似寔則同也所云夾壍堵者中錐之鼈臑也凡壍堵上袤短者連陽馬也下袤短者與鼈臑連也下兩袤相等知亦與鼈臑連也并三廣以高袤乗六而一皆其積也今此羨除之廣即壍堵之袤也按此本是三廣不等即與鼈臑連者别而言之中央壍堵廣六尺髙三尺袤七尺末廣之兩旁各一小鼈臑皆與壍堵等令小鼈臑居裏大鼈臑居表則大鼈臑出撱皆方錐下廣三尺袤六尺高七尺分取其半則為袤三尺以高廣乗之三而一即半錐之積也斜解半錐得此兩大鼈臑求其積亦當六而一合于常率矣按陽馬之棊兩斜棊底方當其方也不問旁角而割之相半可知也推此上連無成不方故方錐與陽馬同寳角而割之者相半之勢此大小鼈臑可知更相表裏但體有背正也 |
| 66 | 今有芻甍下廣三丈袤四丈上袤二丈無廣高一丈問積㡬何答曰五十尺 |
| 67 | 術曰倍下袤上袤從之以廣乘之又以高乘之六而一推明義理者舊說云凡積芻甍有上下廣曰童甍謂其屋葢之苫也是故甍之下廣袤與童之上廣袤等正解方亭兩邉合之即芻甍之形也假令下廣二尺袤三尺上袤一尺無廣髙一尺其用棊也中央壍堵二兩端陽馬各二倍下袤上袤從之為七尺以髙廣乘之得幂十四尺陽馬之幂各居一壍堵之幂各居三以髙乘之得積十四尺其于本棊也皆一而為六故六而一即得亦可令上下袤差乘廣以髙乘之三而一即四陽馬也下廣乘上袤而半之髙乘之即二壍堵并之以為甍積也 |
| 68 | 芻童曲池盤池冥谷皆同術 |
| 69 | 術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤一袤從之各以其廣乘之并以髙若深乘之皆六而一 |
| 70 | 按此術假令芻童上廣一尺袤二尺下廣三尺袤四尺高一尺其用棊也中央立方二四面壍堵六四角陽馬四倍下袤為八上袤從之為十以高廣乗之得積三十尺是為得中央立方各三兩邉壍堵各四兩旁壍堵各六四角陽馬亦各六復倍上袤下袤從之為八以高廣乗之得積八尺是為得中央立方亦各三兩端壍堵各二并兩旁三品棊皆一而為六故六而一即得為術又可令上下廣袤差相乘以髙乗之三而一亦四陽馬上下廣袤互相乗并而半之以髙乘之即四而六壍堵與二立方并之為芻童積又可令上下廣袤互相乗而半之上下廣袤又各自乘并以髙乘之三而一即得也 |
| 71 | 其曲池者并上中外周而半之以為上袤亦并下中外周而半之以為下袤 |
| 72 | 此池環而不通帀形如盤蛇而曲之亦云周者謂如委榖依垣之周耳引而伸之周為袤求袤之意環田也 |
| 73 | 今有芻童下廣二丈袤三丈上廣三丈袤四丈髙三丈積幾何答曰一萬六千五百尺今有曲池上中周二丈外周四丈廣一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺廣五尺深一丈問積㡬何答曰一千八百八十三尺三寸少半寸 |
| 74 | 今有盤池上廣六丈袤八丈下廣四丈袤六丈深二丈問積幾何答曰七萬六百六十六尺太半尺負土往來七十步其二十步上下棚除棚除二當平道五踟蹰之間十加一載輸之間三十歩定一返一百四十步土籠積一尺六寸秋程人功行五十九里半問人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二術曰以一籠積尺乘程行步數為實往來上下棚除二當平道五 |
| 75 | 棚閣除斜道有上下之難故使二當五也置定徃來歩數十加一及載輸之間三十步以為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒尺數按此術棚閣除斜道有上下之難故使二當五置定往來步數十加一及載輸之間三十步是為往來求一返凡用一百四十步于今有術為所有行率籠積一尺六寸為所求到土率程行五十九里半為所有數而今有之即所到尺數所到約積尺即用徒人數者此一人之積除其衆積尺故得用徒人數為術又可令往乗一返所用之步約程行為返數乘籠積為一人所到以此術與今有術相反覆則乘除之或先後意各有所在而同歸耳今有冥谷上廣二丈袤七丈下廣八尺袤四丈深六丈五尺問積幾何答曰五萬二千尺 |
| 76 | 載土往來二百步載輸之間一里程行五十八步六人共車車載三十四尺七寸間人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六術曰以一車積尺乘程行步數為實置今往來步數加載輸之間一里以車六人乗之為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒人數 |
| 77 | 按此術今有之義以載輸及往來并得五百步為所有行率車載三十四尺七寸為所求到土率程行五十八里通之為步為所有數而今有之所得即一車所到欲得人到者當以六人除之即得術有分故亦更令法而并除者亦用以半尺數以為一人到土率六人乘五百步為行率也又亦可五百步為行率令六人約半積尺數為一人到上率以載土術入之入之者亦可求返數也要其會通而矣術恐有分故令乗法而并除以所到為積尺即用徒人數者以一人所積尺除其衆積故得用徒人數也 |
| 78 | 今有幾粟平地下周一十二丈高二丈問積及為粟幾何答曰積八千尺 |
| 79 | 于徽術當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九 |
| 80 | 淳風等按依宻率為積七千六百三十六尺十一分尺之四 |
| 81 | 為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六于徽術當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十 |
| 82 | 淳風等按依宻率為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八 |
| 83 | 今有委米依垣內角下周八尺高五尺問積及為米幾何答曰積三十五尺九分尺之五 |
| 84 | 于徽術當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七 |
| 85 | 淳風等按依宻率當積三十三尺三十三分尺之三十一 |
| 86 | 為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一于徽術當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十 |
| 87 | 淳風等按依宻率為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十 |
| 88 | 今有委菽依垣下周三大高七尺問積及為菽各幾何答曰積三百五十尺 |
| 89 | 依徽術當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六 |
| 90 | 淳風等按依宻率為積三百三十四尺十一分尺之一 |
| 91 | 為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八依徽術當菽一百三十七斛一萬二于七百一十七分斛之七千七百七十一 |
| 92 | 淳風等按依宻率為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三 |
| 93 | 術曰下周自乘以高乘之三十六而一此猶圖錐也于徽術亦當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也 |
| 94 | 其依垣者 |
| 95 | 居圖錐之半也 |
| 96 | 十八而一 |
| 97 | 于徽術當令此下周自乘以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半于全周其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一故半全周之法以為法也 |
| 98 | 其依垣內角者 |
| 99 | 角隅也居圓錐四分之一也 |
| 100 | 九而一 |
| 101 | 于徽術當令此下周自乘而倍之以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半于依垣其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一當半依垣之法以為法法不可半故倍其實又此術亦用周三徑一之率假令以三除周得徑若不盡通分內子即為徑之積令自乘以高乘之為三方錐之積分母自相乘得九為法又當三而一約方錐之積從方錐中求圓錐之積亦猶方幂求圓幂乃當二乘之四而一方錐得圓幂之積前乘方積乃以三而一今求圓錐之積復合三乘之二母既同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而運除圓錐之積其圓錐之積與平地聚粟同故三十六而一淳風等按依宻率以七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六千六而一也 |
| 102 | 程粟一斛積二尺七寸 |
| 103 | 二尺七寸者謂方一尺深二尺七寸凡積二千七百寸 |
| 104 | 其米一斛積一尺六寸五分寸之一 |
| 105 | 謂一千六百二十寸 |
| 106 | 其菽荅麻麥一斛皆二尺四寸十分寸之三謂積二千四百三十寸此為以精粗為率而不等其㮣也粟率五米率二故米一斛于粟一斛五分之三菽答麻麥亦如本率云故謂此三一器為㮣而皆不合于今斛當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐正深一尺于徽術為積一十四百四十一寸排成餘分又有十分寸之三王莽銅斛于今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐二毫以徽術計之于余斛為容九斗七升四合有竒周官考工記桌氏為量深二尺內方一尺而圓外其實一鬴于徽術此圓周積一千五百七十六寸左氏傳曰齊舊四量且區釡鍾四升曰豆各自其四以登于釡大十則鍾鍾六斛四斗釡六斗四升方一尺深一尺其積一千寸若此方積容四斗二升則通外圓積成旁客十斗四合一龠五分之三也以數相乘之則斛之制方一尺而圓其外庣旁一釐七毫幂一百五十六寸四分寸之一深一尺積一千五百六十二寸半容十斗王莽銅斛與漢書律厯志所論斛同 |
| 107 | 今有倉廣三丈袤四丈五尺容粟一萬斛問高幾何答曰二丈 |
| 108 | 術曰置粟一萬斛積尺為寳廣袤相乘為法寳如法而一得高 |
| 109 | 以廣袤之幂除積故得高按此術本以廣袤相乘以高乘之得此積今還元置此廣袤相乘為法除之故得高也 |
| 110 | 今有圓囷 |
| 111 | 圓囷廩也亦云圓囷也 |
| 112 | 高一丈三尺三寸少半寸容米一十斛問周幾何荅曰五丈四尺 |
| 113 | 于徽術當周五丈五尺二寸二十分寸之九淳風等按依宻率為用五丈五尺一百分尺之二十七 |
| 114 | 術曰置米積尺 |
| 115 | 此積猶圓堢壔之積 |
| 116 | 以十二乘之令高而一所得開方除之即周于徽術當置米積尺以三百一十四米之為實二十五乘囷為為法所得開方除之即周也一亦披見幂以求周失之千微少也晉武庫中有漢時王莽所作銅斛其篆書字題斛旁云律嘉量斛方一尺而圓其升庣旁九釐五毫幂一百六十二寸而一尺積一千六百二十寸容十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圓其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸深一寸積一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有讚文與今律厯志同亦魏晉所常用今粗疏王莽銅斛文字尺寸分數然不盡得升合寸之文字按此術本周自相乘以高乘之十二而一得此積今還元置此積以十二乘之令高而一即復本周自乘之數凡一自乘開方除之復其本周自乘之數故開方除之即得也 |
| 117 | 淳風等按依宻率以八十八乘之為實七乘囷高為法實如法而一開方除之即周也 |
| 118 | 九章算術卷五 |
| 119 | 欽定四庫全書 |
| 120 | 九章算術卷六 晋 |
