1  | 喚侵員嘸椿魘敝槳刖逗鴕� |
| 2 | 二球相距必有重心至相擊時重心即為擊點二球相對而行則重心恆不動故左重與右重若右距與左距相隨而行而後速大於前速則重心隨而前行法以兩重各乘速而並之為實並兩重為法實如法而一即重心行也設二球平行於二斜重心必平行於一直以二斜引之相交取二速之度自交點截之為兩腰作聯為三角形之底則左速與右速若右分邊與左分邊乃自分邊處至交點作直即重心行也 |
| 3 | 凡有凸力之球斜擊於不動之面則擊後必斜行自擊點過球心作交又自方向之端作直交於交成前後兩句股形凸力全者兩句股形相等而方向與交之交角前後亦必相等凸力不全則後角與前角之正切為平力凸力之率後角與前角之正弦為前速後速之率無凸力者擊後行於面邊其前速與後速若全數與角正弦也 |
| 4 | 凡動有二一為平速一為漸加速動成長方形速為闊時為長則路為長方積加速動成塹堵形力為高時為長與闊則速為長方積路為塹堵形積物在空中為地力所引而下墜愈下愈速即漸加速也地形橢圓長徑過赤道短徑過兩極徑冪與地力為轉比例故兩極下地力與赤道下地力若百四十五與百四十四兩極赤道之間地力適中於一秒中測物之下墜凡十六尺又萬分尺之六百九十七倍之為一秒之地力依塹堵形求之速與路俱可得矣聲之行為平速一秒中凡千十七尺設投石井中歷幾秒聞水聲則以地力除二開平方為石過井率以聲速除一為聲過井率並之以比所歷之時即井口距水之深也大小二重懸於定滑車者大重必隨地力而下二重和與二重較若地力與長加力物自斜面下行兩面皆為光面必相切而行非旋轉而下斜面之弦為重率股為力率力乘地力即斜面之長加力以塹堵形之比例通之地力乘股以除二弦冪實時冪也二地力以乘股即速冪也故不論弦之長短但股等則速亦等以重引重令行於斜面垂面之重大則重上行垂面之重小則重下行以垂重乘弦與斜重乘股之較乘地力為實並二重以乘弦為法實如法而一即長加力也設有圓面直交地平自頂點至圓界作諸通弦則物任行於何通弦自頂點至末點時刻俱等大小兩圓面之頂合為一點直交地平自頂點至大圓界作諸大通弦中有諸小通弦則物行於兩通弦之較自小圓界至大圓界時刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也 |
| 5 | 拋物空中上行極則彎環而下其兩端恆相等是名拋拋與地平之交角適足四十五度者拋界最大其左右皆漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣若拋物於斜面則視斜面與九十度之交角拋中分此角者拋界最大其左右亦漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣以拋之切為弦則垂為股地平為句切生於平速之拋力故時速相乘而得弦垂生於漸加速之地力故半地力乘時冪而得股以平三角之比例通之拋交地平之倍角正弦乘速冪為實地力為法實如法而一即平面拋界也拋交地平角與拋交斜面角相並為和相減為較和角較角兩正弦之較乘速冪為實較角餘弦冪乘地力為法實如法而一即斜面拋界也九十度之拋即為拋高倍之為平面之最大拋界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大拋界故平面之拋界視斜面為大矣自拋高上端作橫為規規距拋頂之度與拋頂距心之度等自心作橫直交於心距規兩端皆抵拋此必倍於心距規即末率也心距規以二拋高為最大故末率以四拋高為最大拋與平之交角自地平上以漸而小至拋頂則與平合而為一無交角矣垂所截之地平為實拋交地平角之餘弦冪乘二拋高為法實如法而一以減拋交地平角之正切即交角正切也若以同速拋各物而同在一平面者歷若干秒各物所到之點聯之成平圓形若不在一平面成立圓形其拋點距圓心之度即若干秒中地力下行所過之路矣 |
| 6 | 懸物空中左右限以曲令物一往一來則與曲乍合乍離而其行又成曲是名擺倍圓徑為擺長又倍之為擺周則圓周為擺之界即橫徑也於橫徑之中作垂必抵擺之底點以此垂為圓徑作平圓形則任於垂上作橫其所截平圓之弧必等於平圓外之橫而所截之擺周必倍於平圓內之通弦物自擺下行為地所引其速與垂等以測各處地力之大小至易見也一秒之地力為實圓周率三一四一五九二六五三自之為法實如法而一為秒擺長秒擺者一秒擺動一次也設地力為定數則擺長之平方根與時刻成正比例擺長為定數則地力之平方根與時刻成轉比例故以秒擺長除擺長或以地力除原地力平方開之皆為擺動一次之時刻也若以較數求之則擺長者動遲擺短者動速以擺長與秒擺長之較乘一晝夜八萬六千四百秒為實倍秒擺長為法實如法而一即一晝夜擺動加減次數地形高下處處不同高則擺動遲下則擺動速一晝夜加減次數為兩處高下差之率倍之為兩處地力差之率擺之用盡於此矣 |
| 7 | 有諸質點各以堅聯於平面力加一點則諸點隨之而動此與獨動不同因諸質點各有抵力環軸時必互相感召或生動或阻動也距軸愈遠用力愈少力距相乘積等則速亦等自軸心作地平為句自諸點各作垂為股諸點之距軸為弦各以質重乘弦冪而並之即諸點之質阻率力乘距冪為實質阻率為法實如法而一即實生力也諸質點為地力所引亦各有長加力自軸心作直則分諸點為左右兩邊各以質重乘句視諸點在直之一邊者相加在兩邊者相減用乘地力又以所求點之距軸乘之為實質率為阻法實如法而一即所求點之長加力也諸質相距必有重心其距軸為弦垂為股所截之地平為句合各質重以乘重心之句與質重各乘距軸之句以相並者其數正等引重心距軸而長之即為擺心重心擺心兩距軸相乘即環軸半徑冪也自重心作直與距軸成直角亦分諸質點為左右兩邊而諸點之距重心為弦直為股所截之距軸為句各以質重乘句其在重心之兩邊亦相等也合各質重以乘重心距軸冪又以質重各乘弦冪而並之亦與質阻率等重心距軸與距擺心相乘即環重心之半徑冪合各質重乘之與質重各乘弦冪以相並者其數亦等重心為心軸心為界作平圓形任於圓上取一點為懸點擺次並同若以擺心為界其理亦同故懸點與擺心點可互易也 |
| 8 | 二重一加於輪一加於軸而在輪周者下行在軸周者上行輪軸之長加力各如其半徑之比三輪相屬或聯以索或銜以齒而二重一加於第一輪一加於第三軸輪軸之長加力如三輪半徑連乘之比不等二重加於桿之兩端者二重之長加力各如距重心之反比矣凡圓體有轉動有過面動此二動常相因也以索之一端於圓體一端過定滑車而以重懸之設等質之實圓柱則柱重乘地力以加懸重為實三因懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力懸重乘柱徑又乘地力為實三因懸重加柱重以乘柱徑冪八之一為法除之即轉動之長加力若圓柱空而極薄則柱重乘地力為實倍懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力倍懸重以乘地力為實倍懸重加柱重以乘柱半徑為法除之即轉動之長加力設索之一端於圓體一端著於定點則過面動之長加力實圓柱為地力三之二空圓柱為二之一球為七之五也圓體由斜面而下兩面皆為糙面令圓體不為直動而為轉動則不用地力而用直動之長加力其比例並與此不等二重加於靜滑車者令大重下行之長加力即令小重上行之長加力若加於二滑車而一靜一動者動滑車之長加力為靜滑車二之一因速減半故也若加於連滑車而一靜數動者第一動滑車之長加力為靜滑車二之一第二動滑車為四之一第三動滑車為八之一既得諸器之長加力用和分法推之即可知諸器之動矣 |
| 9 | 凡二體相切相磨皆能生面阻力而動速漸減使牽力與面阻力等則物之行恆為平速矣車行於石路之牽力小者為物重千分之十六大者為二千分之三十九路極不平處至千分之二十四火石路為千分之六十四鐵軌路牽力或為物重二百四十分之一或為三百分之一平石路為七十分之一石子路為十五分之一若車行於斜而其所加之牽力等於股為實弦為法設斜面二丈最高一尺則比平面牽力加物重二十分之一也陸路不論速之大小阻力恆同水路則速冪漸大阻力亦漸大故車或五小時行十里或一小時行十里牽力並同而舟則一小時行十里較五小時行十里者牽力當加二十五倍也惟一小時十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生動之力有六曰定質重曰流質重曰定質凸力曰流質動力曰流質漲力曰人畜能力皆以力乘路為當程功定質重之動力斜面與垂面不同設自行車路高一百尺長四千尺輕車一千斤以重車四千斤下行之力引之上行面阻力為二百分重之一法以重較三千斤乘高一百尺得三十萬為當程功以二百除一千得五斤為上行阻力以二百除三千得十五斤為下行阻力並之以乘長四千尺得八萬為實程功是當程之功比實程為四倍弱也用於垂面則以重乘路當程之功即為實程之功矣流質重之動力以水言之其當程功與定質同而水中又有橫流之水互相推蕩不能用以程功故水激上半輪當程功與實程功若五與四水激下半輪當程功與實程功若十與三也捕鳥鼠之巧機能生暫動巧偶鐘表之發條能生長動皆凸力也發條動時抵力恆有改變故以繞軸漸卸時所過微路乘各秒中所加抵力之路為所程功風氣之力有二風槍用漲力風帆用動力水氣亦有漲力與動力其動力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以靜體為最大人力二十八斤又五分斤之四馬力一百四十四斤行則力必減小行至極速則力不能程功而一小時中極速之限人行六里馬行十二里故求人所程功者以一小時里數與六里相減餘數自之四因五除為人力求馬所程功者以一小時里數與十二里相減餘數自之為馬力各以里數乘之為所程功也 |
| 10 | 車以平速行於平路其力必等於面阻力若有阻物如小石類而車體甚堅阻物與輪周僅遇於一點過此點時車必減速加力則速不減矣車過阻物上行時所加之力為重阻力車行忽改方向震動時所加之力為震阻力法以輪半徑除阻物高為第一數輪半徑冪倍之以除阻物高冪為第二數以此兩數之較乘平速冪為震阻力率地力乘阻物高為重阻力率並兩率以乘車重即車過阻物之加力也若阻物高小於輪半徑則平速冪為震阻力率輪半徑乘地力為重阻力率或以薄鐵片附於軸下取其凸力令輪心漸離直而不震動阻力可減大半也 |
| 11 | 以物擊物其受擊物之抵力由兩物相遇而生故鐵錘之力大於紗球鐵墩所抵之能大於軟枕而錘之能力消於墩之抵力其所歷之時刻又有不同時刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者時刻亦愈小也鋼鐵凸力率九百萬尺如以鐵錘擊鐵墩則錘高加墩高以乘錘高又以錘下行數乘而倍之為實凸力率為法實如法而一平方開之即錘墩共凸之路錘高乘凸力率又以錘下行數乘而倍之為實錘高加墩高為法實如法而一平方開之即鐵墩之抵力也若以錘擊釘入木則力為平力而釘能動抵力必小釘長加錘高以乘木徑倍凸力率除之即釘入木之路錘高乘平行數木徑除之內減釘入木路即錘釘井凹之路也 |
| 12 | 流質重學記 |
| 13 | 顧觀光 |
| 14 | 物各有質木石之類為定質風水之類為流質而流質又有輕重之分輕如風氣重如水液其體皆得熱而大得寒而小而水之質獨異當寒暑表之四十度為極小之限更寒則反增大至三十二度而成冰矣成冰之時其體增大最速故瓶盆貯水每因冰而迸裂也流質在器為地力所引必皆平於地平地球旋轉生離心力地心下引生向心力二者又有並力而水面必直交於並力故海面當赤道則曲於球形當二極則平於球形月過處有引力又合地力而生並力必令水面改變即潮汐之理也水之小者同於平面故測兩地高卑以水為准若二處流質相通必升至於平面以法激之能令水自下而上能令水載大重而上升或不用水而用風氣理亦同也定質抵力惟在引力所加之方向流質抵力處處皆同設水在器中於其四周開相等之四小穴以短柱塞之令可進退一柱漸進則餘柱必漸退其抵力之比同於穴大小之比去其一柱器必向對邊而傾以一邊無抵力也流質愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘體積即水抵力之重矣流質抵力必有重心設上下不等正方體水滿其中重心必近於大方令大方在下則重心低而抵力大大方在上則重心高而抵力小若有兩器同底同高不論方斜尖直其底之抵力並同旁面抵力必在重心之下設為平行四邊形則抵力心之高為三分高之一設為兩等邊三角形角尖在上則為四分中垂之一角尖在下則為二分中垂之一凡水閘當抵力心處必多加能力以阻水也 |
| 15 | 定質為流質所載重者必變而輕故竹木入水必升鐵入水銀亦升因等體積之流質重於定質故也定質重為向下之力流質重為向上之力二力同在一垂相等則物必定由此可得體積相等輕重不等之率如金重三十五分入水中則重三十一分所少四分即等於金體之水重是知水與金之重率為一與八七五矣若不合相定之理則物在水中或升或降令物升降之力即等體積之水重與物重之較也人入水中身重小於等體積之水重又胸中空處能大能小首昂則胸大而兩重較更大且以兩手入水必不沉也若手出水則身重大於等體積之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之體積愈小而不能複升矣人於桅端下墜入水必深以身重大於等體積之水重也歿則體漲大而複升以身重小於等體積之水重也氣球上升亦同此理其上升之力即球重於等體風氣重之較矣風氣又有冷熱之分而熱輕於冷又熱則體必加大而等體之冷風氣愈重二重之較即令熱風氣上升之力聚火處開煙囟令煙速出於上即此理也煙囟高則熱風氣向上直升恆高於頂數尺外風不能敵之低則熱風氣亦低或不能敵外風而回入室中矣 |
| 16 | 凡空處皆有風氣風氣漲力四面散行直至遇物攔阻而止設冷熱等則漲力大小與空體大小有轉比例如有長空圓柱兩端一通一塞以通之一端入水則柱中空體為水所逼漸下漸小而令柱下行之力必漸加大此即風氣之漲力以漲力與抵力恆相等也水熱至寒暑表之二百十二度其漲力與風氣等每方一尺抵力二千一百二十斤更熱則漲力極大雖至堅之物不能當之矣 |
| 17 | 地球外之風氣層層包裹近地最厚漸高漸薄至一百五十里則無風氣矣用玻璃管長三十二寸內徑極小不過八分寸之一兩端一通一塞滿貯水銀倒植水銀器中則管中水銀必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者為風氣之所抵而風氣厚薄時時不等故升降亦時時不等也海面水銀高二十九寸九分二厘二毫在高山則必降風氣薄而輕也在深壑則必升風氣厚而重也大率高九百尺水銀降下一寸是又為測高之簡法矣水在器中或倒懸而水不出以口有風氣抵力也虹吸內兩邊倒懸之水俱欲下行在頂點有兩分之意而頂點無空勢不能分兩邊一短一長必令短者逆流而上所以無空者風氣抵之也若頂點高過三十二尺即有空矣極大虹吸高不得過三十二尺 |
| 18 | 風氣冷熱處處不同赤道之下日光正射而熱人必多斜射則熱少愈斜則愈少故一年熱氣中率赤道之下寒暑表八十四度兩極之下僅得四度然則赤道下之風氣較他處熱而輕故必上升而其下南北之冷風氣入之複受熱氣上升而其下之冷風氣又入之如水之流終古不斷遂生上下二潮上自赤道流向兩極下自兩極流向赤道而名之曰風風氣恆隨地球而行地球右轉之勢近赤道者較速近兩極者較遲故上潮速恆而下潮遲及其降至地面遲則與地轉相逆而北半球為東北風南半球為東南風速則與地轉相順而北半球為西南風南半球為西北風其勢正相反也赤道下有颶風亦由於此上下方向相對遂成回旋之風矣擺用流質與定質同其動之比同於長平方根之比水自器中出口其速之比同於口離水面平方根之比設於器旁開二口一離水面一尺一離水面一百尺則一百尺之速必十倍於一尺之速如有少於此者面阻力為之也口在器底則水向下直行口在器旁則水依拋物行設為徑寸平圓之口則近口處徑一寸漸遠漸小小至八寸之五謂之截面此面距口有一定之度過此則形不變故測流質出口多少不用口面積而用截面積也 |
| 19 | 舟行水中阻力之比同於速冪之比而阻力又有大小之不同全在水中則大半在水中則小行於闊處則大行於狹處則小若於狹處一小時行十餘里舟行愈速出水愈高其阻力必大減矣水行川中上面速於下面中流速於兩邊因底與兩岸有面阻力且多曲處故也曲處凹邊之流速於凸邊因各點有離心力能令水積於凹邊也上下行速不同方向或異甚至有對面者如海口潮來咸水從下入淡水從上出以重者下而輕者上也浪乃略高之水行於水面與水行方向不同如桅上旗因風而生綺浪亦與旗行方向不同故水浮水面浪雖擁擊而水不行也浪每因風而生水闊二三百尺深三四尺浪高不過三寸深二三十尺浪高約尺半故可以浪之高低測水之深淺矣潮汐高卑由於日月攝力朔望時用其和兩弦時用其較而二攝力之大小時時不等因日月距地時時不等而攝力與距地之立方有轉比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高與最卑若兩大數和與兩小數較即若十與三之比也各地早晚不同當考者有五事一為月過中差潮漲在月過中後若干時刻日日不同大率當以朔望為准二為半月差月過中又因距日而生差當於日月赤道緯度及地心差為中數時測之此差半月而複故名半月差三為潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望後之三潮上潮距月過中之平數即潮距朔望也四為日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高當於各地測之五則日月地心差不同赤道緯度不同潮之高卑時刻亦因之而變測之既久乃知變者皆其常也有諸海港合而複分水道屢變有時成環繞之行水道變則遲速亦變是又當兼測水道矣 |
| 20 | 天重學記 |
| 21 | 顧觀光 |
| 22 | 日居中而不動地球環之其旋轉於本心而一日一周者晝夜之故也其循行於本道而一歲一周者寒暑之故也旋轉之勢依赤道循行之勢依黃道二道交角今為二十三度二十八分交點每歲西行五十秒一故地行黃道一周三百六十五日五小時四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而後複於恆星即歲差也黃道橢圓而日不正當橢圓之中兩心差００一六七八三六最高每歲東行十一秒八故地繞太陽一周三百六十五日六小時九分九秒六再加四分三十九秒七而後複於最高半周角度小於積度則實行差而遲最卑半周角度大於積度則實行差而疾故日距地之平方與速率有反比例日距地之面積與時分有正比例也中距日視徑三十二分三秒三高則變小卑則變大大小之比同於日距地之反比矣黃道橢圓而地形亦為橢圓長徑過赤道短徑過兩極二徑之比若二百九十九與二百九十八地之旋轉近赤道則漸疾而下引之力減近兩極則漸遲而下引之力增故物在兩極較赤道重一百九十四之一各度加重之比同於緯度正弦冪之比也地徑與日徑比若一與一百十一五地徑與黃道徑比若一與二萬三千九百八十四故日之地平視差為八秒六各度視差之比同於視距天頂正弦之比也赤極環繞黃極二萬五千八百六十八年一周為諸星所攝動而黃赤大距古大今小約百年差四十八秒其最大差為一度二十一分赤極又為月所攝動而成小橢圓之行長徑十八秒五短徑十三秒七四凡十九年一周長徑恆向黃極故大距又有微差矣地以二十四小時旋轉一周而考之鐘表亦有微差一為橢圓遲疾差近最高則行遲而自轉有減分近最卑則行疾而自轉有加分一為黃赤升度差近二分則黃道一度當赤道不足一度故自轉有加分近二至則黃道一度當赤道一度有餘故自轉有減分合二差以加減平時即真時也光行之速一秒凡五十五萬五千里而地行黃道一秒僅五十五里故光速率與地速率若半徑與二十秒五之正切是為光行差近地恆有蒙氣能令七政升卑為高地平視差三十三分地平以上漸小而其差又隨時隨地不同此必徵諸實測非算術所能御矣 |
| 23 | 月繞地而又繞日其旋轉於本心與環繞乎地球皆二十七日七小時四十三分十一秒五而一周故月向地之面終古不易也月行白道與黃道斜交其角五度八分四十八秒交點退行於黃道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交終也白道橢圓而地不正當橢圓之中兩心差最大最小之比若三與二其中數為００五四八四四二最高每日順行六分四十一秒八故月行遲疾二十七日五五四五而一周即轉終也月行於橢圓周每日十三度一七六四亦以面積為平行角度為實行與太陽同中距月視徑三十一分七秒大小之比亦為月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九０七五積二十九日十二小時四十四分二秒八七而複合是為一月地徑與月徑比若一與０二七二九地徑與白道徑比若一與五十九九六四三五故月之地平視差其中數為五十七分六秒也日月二半徑和加月地平視差其最大者一度三十四分二十七秒日月兩心距小於此數則地面必有見食之處故日食限之距交為十六度五十八分法自日體之兩邊各作與月體相切引長之成尖圓其尖或過地或不及地若以兩交互切月引長至地界內即生淡影人在淡影中則見食在尖圓中則見食既也月與內虛二心距等於月外虛二半徑和即月入外虛之時等於月內虛二半徑和即月入內虛之時故月食限之距交為十一度二十一分法自日體之兩邊各作與地球相切引長之成尖圓即內虛也若以兩交互切地引長之過月體即外虛也日光透過蒙氣則折而下其交外虛之角即倍地平蒙氣差其交內虛之角即倍蒙氣差與日視徑之較月八外虛為昏黃色入內虛則淺者為藍綠色深者為紅紫色也凡攝力之大小與相距之平方有反比例月距地心約地半徑之六十倍故地攝月力為地面攝力三千六百之一日之攝力甚大於地而日地距大於月地距約四百倍故日攝月力僅得地攝月力一百七十九之一也白道長徑與地之行每日差五十二分二十七秒二五積二百五日八九四而複合此一合中兩心差有增減長徑亦有進退而增減進退之差在最高者較大在最卑者較小大小之比若二十八與二十五矣朔望前二象限切力恆令速率增增則長徑變長朔望後二象限切力令恆速率減減則長徑變短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小兩弦前後各三十五度十六分法力向內令曲率略大其最大差為一度四分一月而複名二均差也月受日之攝力朔時距日近而略大望時距日遠而略小故日心斜交地月之令月增減於橢圓行其最大差為二分名月角差也地行於橢圓周最高後距日漸近則日攝月力漸大最卑後距日漸遠則日攝月力漸小其最大差為十一分一歲而複名年差也二千年間地道兩心差恆變而小約百年差二萬五千分之一則年差亦微有不同而月之平速恆變而大約百年差十一秒九其一終之時甚久未能徵諸實測也二體相距必有重心其距二體心遠近之比若二體輕重之比聯日地為一直其公重心在日體中聯月地為一直其公重心在地球中故月地之公重心繞日地之公重心而自人視之一若月繞地而地又繞日焉然因此而日之經度亦有微差一月而複因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平視差也白極環繞黃極十八年六而一周而赤道既退行於黃道又退行於白道則赤極所行方向恆正交赤白二極距故不成正圓而為次擺其速率亦時大時小二道所生二差之比若二與五矣 |
| 24 | 五星繞日而行軌道並為橢圓與地球同其兩心差各以長半徑准之水星０二０五五一四九金星０００六八六０七火星００九三三０七０木星０四八一六二一土星０五六一五０五距日中數以地道半徑准之水星０三八七０九八一金星０七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二０二七七六０土星九五三八七八六一地與五星周時平方之比各同於距日立方之比推得五星之恆星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七００七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一萬七百五十九日二一九八一七其交黃道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交點與最高點行皆甚遲故聯兩交點為一恆平分黃道焉外星之攝動內星也於內道上取距外星等於日距外星之兩點內星自等距點至交點者交點退而後自交點至等距點進而前內星之攝動外星也二道相距小於內道距日者於內道上取距日與外星相等之兩點其交點之進退與外星攝內星同二道相距大於內道距日者二星在交之兩邊交點退而後在交之一邊交點進而前若二星中有一星正當交點則交點不動矣二道漸相近而攝力又引之近二道漸相遠而攝力又推之遠則交角變大二道漸相近而攝力反推之遠二道漸相遠而攝力反引之近則交角變小引之近者交點退推之遠者交點進故交角之大小與交點之進退不相應也法力能變曲率向內則曲率增向外則曲率減切力能變速率順則速率增逆則速率減故法力向內而星近高點則長徑退近卑點則長徑進自高至卑則兩心差增自卑至高則兩心差減法力向外者反是切力順而星近高點則兩心差減近卑點則兩心差增自高至卑則長徑退自卑至高則長徑進切力逆者反是是兩心差與最高行互為消長而切法二力亦互為消長故五星之橢圓周古今不甚相遠也人視五星見其忽順忽逆忽留若無法者因地不在星道之心而又繞日環行故也若自太陽視之則有遲疾而無留退故求地心經緯度當以日心經緯度為根先用弧三角形直角為一角星道交黃道角為一角最卑交點二經度較為兩角所夾之弧求得對直角之弧以加減星距最卑度即星距交度仍以直角為一角星道交黃道角為一角星距交度為兩角所夾之弧求得對交角之弧即日心緯度又求對直角之弧以加減交點距春分度即日心經度也次用平三角形直角為一角日心緯度為一角星距日為對直角之邊求得緯度角角之對邊為星距黃道又求得兩角所夾之邊為星對邊又以星對邊為一邊地距日為一邊星地二日心經度較為兩邊所夾之角求得對角之邊為日對邊又求地距日之對角以加二日心經度較再加地之日心經度即星之地心經度又以日對邊與星距黃道為夾直角之兩邊而求星距黃道之對角即地心緯度也土木二星之互相攝動也二星一合為七千二百五十三日四積至三合則土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日數乘之得三十二萬二千三百七十三日約八百八十三年然其差因積久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周時變短則一星速率減而周時變長其最大差土星四十九分木星二十一分二星經度之比若二星體積各乘長徑平方根之反比也金星之攝動地球也一合為五百八十三日九二積至五合則地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日數乘之得八萬七千五百八十八日約二百四十年而一周此一周中地速率減則日地中距變大地速率增則日地中距變小其差甚微然因此而月之速率亦有增減其最大差為二十三秒金星攝力又有直加於月者地轉三終則金轉五終而多二十七日十三小時七分三十五秒六較月轉終少十分五十六秒七約為三千六百二十五分月轉終之一凡二百七十三年而一周其最大差為二十七秒四是又在日地二攝力之外矣五星地半徑差並小於月測之甚難而聯日星與地為三角形則星距日與地距日若星距日度正弦與地道半徑差之正弦此差一年而周與光行差相似若以光行星與地道差為夾直角之兩邊而求地道差之對角即星所在之度也 |
| 25 | 彗星行法與五緯同而橢圓之長徑甚長兩心差甚大故或數十年而一見其差甚多不能盡知其根數也因格彗半長徑二二一六四兩心差０八四七四三六交黃道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未穀彗半長徑三九九四六兩心差０六一七二五六交黃道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陸孫彗半長徑三一五０二一兩心差０七九三六二九交黃道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半長徑三五０一八二兩心差０七五五四七一交黃道角十二度三十四分十四秒凡六年二０二而一周飛彗半長徑三八一一七九兩心差０五五五九六二交黃道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周達唳彗半長徑六三二０六六兩心差０七五六七二交黃道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好裡彗半長徑一七九八七九六兩心差０九六七三九一交黃道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一０六而一周又有乾隆三十五年之彗兩心差０七八五八交黃道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日０００五五八交黃道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有順治十八年之彗約一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗約二百九十二年而一周康熙十九年之彗約五百七十五年而一周上考往古有當見而不見者必近日而晝見有雖見而先後一二年則為他星所攝動也乾隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周減百分日之十一洪武十一年至道光十五年好裡彗已六周每周增千分年之四百四十五增減之故未得而詳彗之頭如星氣漸近中心漸厚尾恆背日太虛中之薄氣故借日光而明有時隔彗能見恆星知其薄氣而非實體矣 |
| 26 | 代微積拾級序 |
| 27 | 李善蘭 |
| 28 | 幾何之學自歐幾里得至今專門名家代不乏人粵在古昔希臘最究心此學爾時以圜錐諸曲之理為最精深亞奇默德而後其學日進至法蘭西代加德立縱橫二軸推曲內諸點距軸遠近自有此法而凡曲無不可推故曲之數多至無窮而以直為限一例用曲之法馭之既得諸曲依代數理推之可得諸平面諸曲面諸體其已推定之曲略舉其目曰平圜橢圜雙物半立方拋物薜荔葉蚌擺餘擺和音次擺弦切諸指數對數亞奇默德螺對數螺等角螺交互螺兩端懸葛西尼諸橢圜平行動而圜錐諸曲與他曲統歸一例無或少異此代數幾何學也自有代數幾何而微分學之用益大微分學非一時一國一人所作其源流遠矣數學有數求數代數無數求數然所推皆常數微分能推一切變數創法者不一家理同而術異求本之者日耳曼人也立界說曰以小至無窮之點積至無窮多推其幾何名為推無窮小點法難者曰無窮小之點雖積之至無窮不能成幾何解之曰但易無窮小為任何小即有積可推矣故其說雖若難解而其理未始不合也而英國奈端造首末比例法不用無窮小之長數乃用有窮最小長數之比例而推其漸損之限其幾何變大則為末限變小則為首限此法便於幾何而不便於代數後造流數術棄不用而謂萬物皆自變其變皆有速率凡幾何俱可用直顯之故速率之增損可用直之界顯之此說學者皆宗之嘉慶末法蘭西特浪勃造限法自云不過用奈端首末比例耳而蘭頓別創新法凡微分一憑代數不云任近限而云已得限名曰剩理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略與蘭頓同總論之微分不過求變幾何最小變率之較耳家數雖多理實一焉奈端來本之同時各精思造法未嘗相謀相師也奈端於元上加點以顯流數如申為甲之流數是也用以推算覺不便故用來氏之彳號以顯之積分者合無數微分之積也亦用來氏之禾號以顯之微分積分為中土算書所未有然觀當代天算家如董方立氏項梅侶氏徐君青氏戴鄂士氏顧尚之氏暨李君秋紉所著各書其理有甚近微分者因不用代數式故或言之甚繁推之甚難今特偕李君譯此書為微分積分入門之助異時中國算學日上未必非此書實基之也 |
| 29 | 代微積拾級序 |
| 30 | 偉烈亞力 |
| 31 | 中法之四元即西法之代數也諸元諸乘方諸互乘積四元別以位次代數別以記號法雖殊理無異也我 朝康熙時西國來本之奈端二家又創立微分積分二術其法亦借徑於代數其理實發千古未有之奇秘代數以甲乙丙丁諸元代已知數以天地人物諸元代未知數微分積分以甲乙丙丁諸元代常數以天地人物諸元代變數其理之大要凡線面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也故積分逐層分之為無數微分合無數微分仍為積分其法之大要恆設縱橫二以天代橫以地代縱以彳天代橫之微分以彳地代縱之微分凡代數式皆以法求其微系數系於彳天或彳地之左為一切面體之微分故一切面體之微分與縱橫之微分皆有比例而迭求微系數可得面體之級數曲之諸異點是謂微分術既有面體之微分可反求其積分而最神妙者凡同類諸題皆有一公式而每題又各有一本式公式中恆兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天與彳天之同數或地與彳地之同數以代之乃求其積分即得本題之全積是謂積分術由是一切曲曲所函面曲面曲面所函體昔之所謂無法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真數求對數對數求真數昔之視為至難者今皆至易嗚呼算術至此觀止矣蔑以加矣羅君密士合眾之天算名家也取代數微分積分三術合為一書分款設題較若列眉嘉惠後學之功甚大偉烈君亞力聞而善之亟購求其書請餘共事譯行中國偉烈君之功豈在羅君下哉是書先代數次微分次積分由易而難若階級之漸升譯既竣即名之曰代微積拾級時幾何原本刊行之後一年也 |
| 32 | 談天序 |
| 33 | 李善蘭 |
| 34 | 西士言天者曰恆星與日不動地與五星俱繞日而行故一歲者地球繞日一周也一晝夜者地球自轉一周也議者曰以天為靜以地為動動靜倒置違經畔道不可信也西士又曰地與五星及月之道俱系橢圓而歷時等則所過面積亦等議者曰此假象也以本輪均輪推之而合則設其象為大輪均輪以橢圓面積推之而合則設其象為橢圓面積其實不過假以推步非真有此象也竊謂議者未嘗精心考察而拘牽經義妄生議論甚無謂也古今談天者莫善於子輿氏苟求其故之一語西士善求其故者也舊法火木土皆有歲輪而金水二星則有伏見輪同為行星何以行法不同歌白尼求其故則知地球與五星皆繞日火木土之歲輪因地繞日而生金水之伏見輪則其本道也由是五星之行皆歸一例然其繞日非平行古人加一本輪推之其推月且加至三輪四輪然猶不能盡合刻白爾求其故則知五星與月之道皆為橢圜其行法面積與時恆有比例也然俱僅知其當然而未知其所以然奈端求其故則以為皆重學之理也凡二球環行空中則必共繞其重心而日之質積甚大五星與地俱甚微其重心與日心甚近故繞重心即繞日也凡物直行空中有他力旁加之則物即繞力之心而行而物直行之遲速與旁力之大小適合平圜率則繞行之道為平圜稍不合則恆為橢圜惟歷時等所過面積亦等與平圜同也今地與五星本直行空中日之攝力加之其行與力不能適合平圜故皆行橢圜也由是定論如山不可移矣又証以距日立方與周時平方之比例及恆星之光行差地道半徑視差而地之繞日益信証以煤坑之墜石而地之自轉益信証以彗星之軌道雙星之相繞多合橢圜而地與五星及日之行橢圜益信餘與偉烈君所譯談天一書皆主地動及橢圜立說此二者之故不明則此書不能讀故先詳論之 |
| 35 | 談天序 |
| 36 | 偉烈亞力 |
| 37 | 天文之學其源遠矣太古之世既知稼穡每觀天星以定農時而近赤道諸牧國地炎熱多夜放羊因以觀天間嘗上考諸文字之國肇有書契即記及天文如舊約中屢言天星希臘古史亦然而中國堯典亦言中星歷家據以定歲差焉其後積測累推至漢太初三統而立七政統母諸數從此代精一代至郭太史授時術法已美備惟測器未精得數不密此其缺陷也中國言天者三家曰渾天曰天曰宣夜然其推歷但言數不言象而西國則自古及今恆依象立法昔多祿某謂地居中心外包諸天層層硬殼傳其學者又創立本輪均輪諸象法綦繁矣後代測天之器益精得數益密往往與多氏說不合歌白尼乃更創新法謂太陽居中心地與諸行星繞之第穀雖譏其非然恆得確証人多信之至刻白爾推得三例而歌氏之說始為定論然刻氏僅言其當然至奈端更推求其所以然而其說益不可搖矣夫地球大矣統四大洲計之能盡歷其面者無幾人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者計繞太陽有小行星五十餘大行星八其最大者體中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也設以五百地球平列土星之光環能覆之而諸行星又或有月繞之總計諸月共二十餘設盡並諸行星及諸月之積不及太陽積五百分之一太陽體中能容太陰六千萬倍可謂大之至矣而恆星天視之亦只一點耳設人能飛行空中如最速子亦須四百萬年方能至最近之恆星故目能見之恆星最小者可比太陽其大者或且過太陽數十萬倍也夫恆星多至不可數計秋冬清朗之夕昂首九霄目能見者約三千設一恆星為一日各有行星繞之其行星當不下十五萬恆星又有雙星及三合四合諸星則行星之數當更不止於此矣然此僅論目所能見之恆星耳古人論天河皆云是氣近代遠鏡出知為無數遠鏡界內所已測見之星較普天空目所能見者多二萬倍天河一帶設皆如遠鏡所測之一界其數當有二千零十九萬一千設一星為一日各有五十行星繞之則行星之數當有十億零九百五十五萬意必俱有動植諸物如我地球偉哉造物其力之神能之巨真不可思議矣而測以更精之遠鏡知天河亦有盡界非布滿虛空也而其界外別有無數星氣意天河亦為一星氣無數星氣實即無數天河我所居之地球在本天河中近故覺其大在別星氣外遠故覺其小耳星氣已測得者三千餘意其中必且有大於我天河者初人疑星氣為未成星之質至羅斯伯之大遠鏡成始知亦為無數小星聚而成而更別見無數星氣則亦但覺如氣不能辨為星之聚設異日遠鏡更精今所見者俱能辨恐更見無數遠星氣仍不能辨也如是累推不可思議動法亦然月繞行星行星繞太陽近代或言太陽率諸行星更繞他恆星與雙星同然則安知諸雙星不又同繞一星而所繞之星不又繞別星耶如是累推亦不可思議偉哉造物神妙至此蕩蕩乎民無能名矣 |
| 38 | 割圜八綴術序 |
| 39 | 左潛 |
| 40 | 自泰西杜德美立割圜九術以屢乘屢除通方圜之率我 朝明氏董氏各立一家言以為之說而杜氏之義推闡靡遺顧八互求尚無通術未足以盡一圜之變夫非明董之智力不能因法立法以盡其變也其能窮杜氏之義也資於借根方其不能廣杜氏之法也亦限於借根方借根方即天元一之變術而借根方之不能立式究不如天元一之巧變莫測也是書祖杜氏而宗明氏又旁參以董氏之法八相求各立一式因式立法不煩審顧之勞因法入算不費尋求之苦向之不可立算者今皆能馭之以法即有不能立法布算者而其式終存則式能濟法之窮而度圜諸一以貫之無遺法矣推其立式之由所謂比例術即明氏定半徑為一率所有為二率或三率之法也所謂還原術即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也所謂借徑術即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數借百分全弧通弦率數求千分全弧通弦率數諸法也所謂商除法又即還原術之變法也是故綴術之生因於明氏而又足以盡明氏之變明氏之未能立式也借根方法取兩等數其分母分子雜糅繁重而不可通也其多號少號輾轉互變而不可約也試取明氏書馭之以綴術其遞降各率頃刻可求則是書也其真能因法立法而更能樹幟於明董之後者與書為徐君青先生所作吳君子登述而成之顧詳於式而略於草惟弦求矢矢求弦弦求切切求弦弧求割小切求大切小切求大弦小割求大矢八式有草餘皆有式無草欲考其立式之原不可遽得學者難焉因於暇日一一盡為補草合為四卷書既成丁果臣先生以嘗習算於徐先生將以此書付諸梓因綴數語於簡端云 |
| 41 | 綴術釋戴序 |
| 42 | 左潛 |
| 43 | 餘既補訂徐莊愍公割［圜］(團)綴術丁果臣先生複以戴氏鄂士求表捷術見示圖解詳晰立法巧變於天地間自然之形數曲盡精微其中各式有足補徐氏之未備者如餘弦求各式有式同於徐術而立法不同者徐術先求差根此術先求乘法更為直捷法異而理不異也要皆祖杜宗明使割圜之理一以貫之雖各有創術而因法立法互相發明益足見明氏書之為通術而其理固無所不賅也原書算式繁重通分化分諸法學者驟難通曉餘因思綴術乃天元一之變法用以立式巧變莫測遂依法改演各草不一日而諸式立就且與書中細審諸草一一密合爰並取全書刪繁就簡手錄成帙至求式各法已詳綴術草中茲不再述 |
| 44 | 綴術釋明序 |
| 45 | 曾紀鴻 |
| 46 | 易系曰極其數遂定天下之象則綜天下難定之象以觀於有定莫數若矣在昔聖神制器尚象利物前民其於數理必有究極精微範圍後世者代久年湮其數學漸至失傳近三百年泰西猶能推闡古法翻陳出新而中國之才人智士或反蹈其成轍而率由之孔子曰天子失官學在四夷正今日數學之謂也中國舊有弧矢算術而未標角度八之名未立八鈐表則雖有用其理以入算者而無表可藉則每求一數必百倍其功而始得且得而仍非密率明代譯出泰西八表及八對數表核其立法之源得數之初甚屬繁難而成表之後一勞永逸大至於無外細至於無微莫不可以此表測之則其用之廣大可想然得表之後雖無事於再求而任舉一數何能較其訛誤若仍用舊術則非匝月經旬不得一數此明靜庵董方立推演杜德美弧矢捷術之可貴也向來求八者例用六宗三要二簡各法若任言一弧度必不能考其弦矢諸數至杜氏創立屢乘屢除之法則但有弧徑而八均可求董方立解杜術先取直之極微者令與弧合而後用連比例以推至極大又考諸率數與尖錐理相合故用尖錐以釋弧矢而弧矢之理以顯而數亦顯明靜庵解杜術先取四分弧通十分弧通弦直之極大者用連比例以推至千分萬分弧通弦之極微者考其乘除之率數與杜氏原術乘除之理相合故用綴術以釋弧矢而弧矢之數以出而理亦出董明二君均為弧矢不祧之宗無庸軒輊其間邇百年中繼起者如戴鄂士煦徐君青有壬季壬叔善蘭所著各書雖自出新裁要皆奉董明為師資也吾友左君壬叟湘陰相國之侄也英年積學於詩文賦字無不深純每應試必冠其曹而於數學一道尤孜孜不倦遇有疑難之題必窮力追索務洞澈其奧窔而後止嘗謂方員之理乃天地自然之數吾之宗中宗西不必分其畛域直以為自得新法也可曾釋徐君青氏綴術又釋戴鄂士求表捷術茲又釋明靜庵弧矢捷術而一貫以天元寄分之式於圓率一道三致意焉可謂勇矣余癸酉從丁果臣先生游始識壬叟繼與共述粟布演草圓率考真二書相得甚歡不啻古所謂同方合志者孰意天厄良才壬叟竟於甲戌秋不永年而逝凡在同學諸人無不嘆息不置餘與壬叟兩世神交能無愴切耶果臣先生為湖南數學之領袖所刊二十一種算書嘉惠士林良非淺鮮茲文集壬叟遺書而匯刊之倩新化黃君玉屏宗憲任栃Ｖ役訂正精審毫髮無憾壬叟得此不朽矣若夫詩古文詞古人之門徑已搜括殆盡即附為壬叟之緒餘剞劂尚需諸異日也 |
| 47 | 圜率考真圖解跋 |
| 48 | 曾紀鴻 |
| 49 | 曩讀古今人數學書莫不言割圜之難數理精蘊中所載圜率與西人固靈所求三十六位之數相同皆用內容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數十年工夫亦綦難矣後有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術以求四十位圜率止有二十五位不誤其後十五位概行誤足見紛賾繁難易於淆亂果臣先生屬紀鴻等凝心構思幸得創茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌邇日深於算者窮理之功多演數之功少反覺不切於日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術推得各弧背真數至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困於圜率者置一左券也 |
| 50 | 對數序 |
| 51 | 劉彞程 |
| 52 | 人莫不知對數之用世亦不乏求對數之書奚俟後有論撰顧是書之不容已於作也其要有二一則自來求對數者求一對數祗可得一對數今思得一法求一對數俱可得兩對數以前冊開方第二術求大於本數之對數較易正負相間之諸數為皆正即為小於本數之對數較以前冊開方第三術求小於本數之對數較易諸數皆正者為正負相間即為大於本數之對數較以此求諸對數以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數九乘方各以率數闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節闡微抉隱於對數之理均覺似非小補然以視最要之端則猶為餘事矣 |
| 53 | 論對數根 |
| 54 | 劉彞程 |
| 55 | 第一問 |
| 56 | 問何謂對數根曰命單一下帶無數空位零一之數為方根求其無量數九乘方之積為真數次置方根零數即零一之一以一無量數乘之得單一為真數之自然對數由自然對數求得定准對數即對數根也法以十之自然對數為首率十之定准對數單一為中率求得末率為對數根十之自然對數與十之定准對數單一之比若以單一為自然對數與其定准對數之比而此所得定准對數用之乘一切方根零數可得一切數之定准對數以其為諸對數之所自出故曰對數根也 |
| 57 | 第二問 |
| 58 | 問以對數根乘一切數之方根零數而得一切數之定准對數其理若何且求一切定准對數舍對數根尚別有法乎曰一切數之方根零數既為一切數之自然對數則置本數之方根零數任以若干數之定准對數乘之以若干數之自然對數除之必得本數之定准對數顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數為除法是也自然對數單一與定准對數對數根之比同於一切自然對數與一切定准對數之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數根為二率一切自然對數為三率求得四率為一切定准對數故以對數根乘一切方根零數即得一切定准對數又十之自然對數與十之定准對數之比同於一切數之自然對數與一切定准對數之比而十之定准對數系單一可以省乘故以十之自然對數除一切方根零數即得一切定准對數夫位少之數乘便於除位多之數除便於乘似以十之自然對數為除法較以對數根為乘法為便十之自然對數與對數根皆位多之數顧乘除方根零數乃乘除於得數之後得數即得方根也乘除所借之根單一為乘根於第一數之先第一數即連比例之第一數乘除於後與乘除於先原無少異則與其以十之自然對數除方根零數孰若以對數根乘借根單一之為便乎此求對數者所以恆置對數根為第一數之實也置對數根為第一數之實即如以對數根乘單一也 |
| 59 | 第三問 |
| 60 | 問求對數根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然後以方根為真數以方根之零數為自然對數以單一折半五十四次為定准對數置單一以定准對數乘之自然對數除之得對數根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數然後以用數開無量數九乘方求得方根零數以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數以十之自然對數除定准對數單一得對數根此又一法也李紉叔氏以二為本數求得自然對數三因之得八之自然對數又求得四與五之自然對數較命為八與十之自然對數較四五與八十比例同故對數較亦同以加八之自然對數為十之自然對數然後以十之自然對數除單一得對數根此又一法也夫舊法極繁不可為訓戴李二術因十之自然對數不可徑求故一則借用數以求之一則分二次以求之皆法之極善者也 |
| 61 | 第四問 |
| 62 | 又問求對數根別有法乎曰無論以若干數之自然對數除本數之定准對數皆得對數根以對數根乘諸自然對數既得諸定准對數則以諸自然對數除諸定准對數必得對數根但諸數之自然對數與定准對數恆難兼而有之如二可得自然對數不能得定准對數十之平方根可得定准對數不能得自然對數試思何數可兼得自然與定准兩對數則得對數根矣間嘗於戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似後一法與李法相似此法任取略大於單一之數皆可為求對數根之借端明乎此然後覺求之術途徑甚寬非一格所能限矣法如左 |
| 63 | 一任取略大於單一之數為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若干次即以十開若干乘方得數為十之若干乘方根次以此方根為本數以若干乘方之廉率除十之定准對數單一為本數之定准對數複由本數求得自然對數然後以自然對數除定准對數得對數根 |
| 64 | 假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之數與十相近而略小乃以此數為借積十為本積求之二十三乘方根法以借積減本積得０一五０二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數乘法乘第一數除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三為第二數除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四為第三數乘法乘第三數除法除之得０００００００八一以四十九乘之七十二除之得００００００００五五一為第四數乘法乘第四數除法除之得０００００００００八以七十三乘之九十六除之得００００００００００六為第五數諸數相並得一一００六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術 |
| 65 | 次以十之二十三乘方根為本數以廉率二十四餘十之定准對數得００四一六六六六六六七為本數之定准對數仍以開方術求本數之自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一００六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得０一００六九四一七一四合以一無量數除之今不除寄為母即為第一數正本系第二數因但求方根零數故徑以第二數為第一數乘法乘第一數除法為單一除與不除無異故可省去得００一０一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數乘二無量數除等得０００五０六九六五八一為第二數負乘法乘第二數得００００五一０四八五又二乘之三除之得００００三四０三二三三為第三數正乘法乘第三數得０００００三四二六八五又三乘之四除之得０００００二五七０一四為第四數負如是求得００００００二０七０００四為第五數正０００００００一七三八為第六數負００００００００一五為第七數正００００００００一三為第八數負００００００００００一為第九數正諸正數相並並諸負數以減之得００九五九四一０四五六合以一無量數乘之因第一數已寄一無量數為母是此數已為一無量數與方根零數相乘之數故即為借積與本數之對數較又此對數較合加借積之對數為本數之對數而借積系單一無對數可加諸數之中惟單一無對數故此對數較即為本數之自然對數置本數之定准對數００四一六六六六六六七以自然對數００九五九四一０四五六除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第二術 |
| 66 | 一任取略大於單一之數為本數求得自然對數次以本數屢自再乘至比十略小或略大而止複求得此數與十之自然對數較次置先所求自然對數以屢自再乘之次數加一乘之以後所求自然對數較加之得十之自然對數然後以十之自然對數除十之定准對數單一得對數根 |
| 67 | 假如任取一一為本數求其自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之數但降一位而數不變故以降一位代乘除一次也得０一為第一數正此處寄母及得數後不複以無量數乘之之說俱已見前置第一數降一位一乘之二除之得０００五為第二數負置第二數降一位二乘之三乘之得００００三三三三三三為第三數正置第三數降一位三乘之四除之得０００００二五為第四數負如是求得００００００二為第五數正０００００００一六七為第六數負００００００００一四為第七數正０００００００００一為第八數負諸正數相並並諸負數以減之得００九五三一０一八為一一之自然對數以上用開方第一術 |
| 68 | 次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數與十相近而略小乃以此數為小積十為大積複開無量數九乘方求大小兩積之對數較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得００一五０二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□拔邐逅陌耍傲七第二位為單數故志以□為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得００一五二五五九八為第一數正除法除第一數一乘之二除之得００００一一六三七五為第二數負除法除第０二數二乘之三除之得００００００一一八四為第三數正除法除第三數三乘之四除之得０００００００以００一四為第四數負第一第三數相並以第二第四數相並減之得００一五一四０七八為大借積與小借積之自然對數較亦即為大積與小積之自然對數較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數較亦同次置一一之自然對數以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數以大小兩積之自然對數較加之得二三０二五八五二為十之自然對數置定准對數單一以十之自然對數除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第四術 |
| 69 | 代數術序 |
| 70 | 華衡芳 |
| 71 | 代數術二十五卷餘與西士傅蘭雅所譯也傅君本精於此學余亦粗明算法故傅君口述之餘筆記之一日數千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經年告成爰展閱一過而序之曰數之名始於一而終於九故至十則進其位而仍以自一至九之數名之至百則又進其位而仍以自一至九之數名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數之時所以必以十紀之者誠以數之多可至無窮若每數各與一名則吾之名必有窮時且紛而無序將不可記憶不如極之於九而以十進其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便於民生日用傳之數千百年至今不變也觀夫市廛貿易之區百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數殊焉多寡長短大小之不同則其數又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計之其所斤斤計較者莫非數也設有人言吾可用他法以代其數天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數理幽深最耐探索疇人演算務闡精微於是乎設題愈難布算愈繁甚至經旬累月不能畢一數且其所求之數往往雜糅隱匿於各數之內而其理亦紆遠而不易明若每事必設一題每題必立一術枝枝節節而為之術之多將不可勝紀而仍不足以窮數理之變則不如任數理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數所由作也代數之術其已知未知之數皆代之以字而乘除加減各有記號以為區別可如題之曲折以相赴迨夫層累已明階級已見乃以所代之數入之而所求之數出焉故可以省算學之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數之術誠簡矣誠便矣試問工此術者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進而不已苟不至昏眊迷亂必不肯中輟故始則因繁而求簡及其既簡也必更進焉而複遇其繁雖迭代數十次其能免哉由是知代數之意乃為數學中鉤深索隱之用非為淺近之算法而設也若米鹽零雜之事而概欲以代數施之未有不為市儈所笑者也至於代數天元之異同優劣讀此書者自能知之無待餘言也 |
| 72 | 論四元相消之理 |
| 73 | 湯金鑄 |
| 74 | 四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉鑒為最古然四元實由天元所推廣而天元則宋秦道古數學九章元李鏡齋測圓海鏡益古演郭邢台授時歷艸皆著其法今並存唐王又孝通輯古算經所立諸術多與天元四元所衍得者同疑亦據此而作也考九章算術少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止於一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也天元地元即方程［之］一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉樞而相消者實四元之關鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊減則數有大小即有減餘之數而相消必兩數參差相等消後數有對者汰之無對者列為正負存之故所得必正負相當而等於無數天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數須開平方始與又數等者即又數等於左數之平方根也故以又數自乘即與寄左數相等因自乘必無奇零開方數常不盡故以此通之也或遇左數當以某數除之始與又數等者即又數小於左數若干倍也則以其數乘又數令大若干倍即與左數相等因如積常不受除故以此通之也兩數既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數或較數則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之數彼大於此若干倍者可以約率求之不必互乘互乘所以齊同今此既小於彼若干倍則依若干倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數高下不同者亦然如右式有數在太上一層左式太下一層始有數可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數層數不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之數既正負相當則任以一數乘之或除之其相當固不變即其數任分為二各自乘相減所得仍相當不變也故三元法遇各式行數多少不齊即將少行之式直剔為二各自乘而相消則數本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數層數均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數皆紀於夾縫中式中有此則視其由何數相乘而得者即以其數除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也 |
| 75 | 正負相當等於無數則任以數乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當而等於無數作者以此釋相消之理良由於四元代數貫徹純熟故能語必破的 |
| 76 | 九減法及任用他數減試說 |
| 77 | 沈善蒸 |
| 78 | 驗乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恆差一二五等數故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數減試之法均同七減故用他數之減法可不俱載焉按九減法無論驗加減乘除之誤先以法數各位相並滿九者以九減之減至不滿九而止又實數得數並減亦如之並減過之數法仍為實如驗乘法者仍相乘驗除法者仍除之驗加減者仍加減之所得之數滿九者又九減之必與減過之原得數相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相並須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢後乘除加減試驗之法皆與九減同試言其理夫數起於一極於九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數俱為九之倍數以九減之俱能卻盡無餘又如三與三十之較數二十七七與七十之較數六十三亦為九之倍數故無論何數退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變為八即如八十以九減八次亦為八所以九減之法十百千萬均可並入單位而他減則不能並也又准此理九減之法可以改為以並代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以並代減將各位相並得四十三又相並得七則與九減減得之數同若論用他數減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可並故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯位次與減錯位次者居多乃九減不能驗出此等之誤因九減亦不計位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也 |
| 79 | 論海洋深淺之理 |
| 80 | 沈善蒸 |
| 81 | 依重心之理而論大西洋必深於太平洋赤道以北之洋必深於赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質點皆有吸力各點互吸其力必聚於公重心猶之一重物各質點皆有重率而重心必歸於一點也凡萬物之存重力皆因地球吸力所致而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恆與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球為微匾形矣今閱地圖北半球陸地多於南半球若使海洋深淺略同則北半球地質多於南半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦隨之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變為陸何能成現在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應倍深於南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現在之形狀又大西洋應深於太平洋之理亦然不知此論然否須質諸泰西測海家驗以實測方可自信如其不然必因地質有松密北半球地質多而松南半球地質少而密亦能輕重相等可使重心不偏也 |
| 82 | 質點 |
| 83 | 韓應升 |
| 84 | 歐羅巴人旋光性論云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質質點大小質點小水質點大氣質點小氣中各類應又分何類質點大何類質點小丸與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大於丸盂之穴必大於黍囷之穴不大於丸則丸不得下也盂之穴不大於黍則黍不得下也故丸也黍也以網盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁於外陶孔大水粒小也脖忍瘴尤密矣倉式鮮枵咭允⑺水無沁於外以盛油久而油沁於外部狀笥土Ｐ∫菜粒之大大於部子土Ｖ大不大於部滓簿荽碩知凡物質之有點點之有原度不獨定質重流質亦有之則亦可推此而知不獨重流質輕流質亦有之輕流質之有質點雖無據豈遂不能更有他器可以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也 |
| 85 | 極說 |
| 86 | 韓應升 |
| 87 | 凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數也度也數始於一一數之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終於三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始於點終於體點不可減故為小極體不可加故為大極點不但不可減亦不可加使點可加加而為線是點雖不本大而固可使大維其不可加使大故終於點終於小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終於體終於大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點為界即以兩點為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點為心線為界體以重心一點為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附於土以共為一球氣又附於水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質點滯力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一里吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二里其吸力必減四倍何也距地心二里球面必四倍大於距地心一里球面也則距地心二里球面也則距地心二里球面質點滯力必四倍大於距地心一里球面質點滯力也夫地心吸力加於地質遞加遞進以至地面亦加於水遞及水面地水之上地心吸力又加風氣使地心吸力不加風氣則風氣之性既自生漲力能推諸點四面散行漸遠地心地水向心風氣離心方向相反地上氣下應生空隙今乃不然足証非是地心吸力加於地質漸減以至地面地面之上又加風氣漸遠漸減以至無窮何也地面風氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風氣外面風氣擠逼立碎試問此器不用風氣用幾何力方能擠碎設雲一十六兩則風氣擠力極小當不能減於一十六兩擠力漲力名異實同非有二義地心至地面萬五千里據上所云其距倍是為三萬裏面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬裏面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之數可至無窮遞減之數去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之後終存四一是故地心吸力最大漸遠漸減以至地面又加風氣漸遠漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠漸減而無窮者無極也故風氣盡界說稱風氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點四面散行漸遠地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風氣諸點不複推開而有盡界者其義非是也 |
| 88 | 翻譯航海通書原本 |
| 89 | 金楷理 |
| 90 | 是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象台地名固林為志經所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉複至午為一日所歷之太陽平時日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時在月則曰太陰日約二十五時弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恆星則有恆星日二十三時五十六分三秒半弱其命時也悉以太陽平時為宗 設太陽為不動則地軸旋轉及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也 |
| 91 | 測算有平時真時之別按鐘表時走平分即太陽之平時日晷測時不平分即太陽真時其理解見譯之航海通書 |
| 92 | 凡鐘表宜照平時開准真時由測星而得平時以意平分之謂為平時者別於真時也 |
| 93 | 平時真時之較曰時差每日午正以所差之數列如表 |
| 94 | 設於一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時查其時差為三分五十一杪四零依號加於真時則知日交午之平時為午正三分五十一秒四零也 |
| 95 | 凡推算必先准定一處為起算之端如此表依英國為准移用他處俱照相距該處之遠近為加減相距十五度即差一點鐘設同此一時在該處為午正者其西十五度之處尚為午初同時太陽不能分居兩處之午也 |
| 96 | 行船表即度時表在彼處開准者任至某處欲知該處之時檢表即得諸實測尚須推算其時差以加減之凡算家所定之表宜各照其測處之午為准 |
| 97 | 常用以夜半子正起至明日子正為一日而中分於午為午前十二點午後十二點此書則以正午起至明日正午止歷二十四點為一日如常用在正月初二日午前七點鐘四十九分此書則為在正月初一日十九點四十九分也余仿此 |
| 98 | 每月月終必多列一日即下月初一之數中比例之用也 |
| 99 | 每月第一頁所列諸數系日心正交該處午時之數其赤道經度自春分點記起日距赤道南北若干度謂之緯度若干別時求日之赤道經緯度及時差之法當以次行所記之一點較數上求之表所列之數為午正前後一點中日所移之數若算別時之較取距午正折中之處而比其較中之較視下日較數之大小以別加減乃加減於本日較數內即為所求時每點應移之數而與所求時相乘即得其午正後所移之准數以加本日午正如日之赤緯度及時差在退行時則減於本日午正即得所求之數也考其所列之每點較數乃並上下兩日之行分乃以兩日共四十八點歸之即得下日之一點較 |
| 100 | 設是年正月十六日在該處四點鐘時求日之赤道緯度則檢表內十六日午正之一點較為二十八秒七六十七日午正之一點較為二十九秒七五兩較相減得較中之較為零秒九九以二十四點歸之得每點差百分秒之四有奇乃以求午正後四點折半為二點即其中處與百分秒之四有奇相乘約得百分秒之八乃視其下日之較為漸大故加於十六日一點較數上共為二十八秒八四� |
