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《二v5~7》[View] [Edit] [History]
Transcribed automatically with 1  | 《九章算術》 二 |
《九章算術卷第五 算經十書之二》 | |
| 1 | 盧木齋 藏書清華 大學 圖書 館𡒉北平木齋 圖書 舘臧書 |
| 2 | 魏 劉徽 注 |
| 3 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《商功》 | |
| 1 | 以御功程積實 |
| 2 | 今有穿地積一萬尺問為堅壤各幾何 |
| 3 | 荅曰 |
| 4 | 為堅七千五百尺 |
| 5 | 為壤一萬二千五百尺 |
| 6 | 術曰穿地四為壤五壤謂息土為堅三堅為築土為墟四墟謂穿坑此皆其常率以穿地求壤五之求堅三之皆四而一今有術也以壤求穿四之求堅三之皆五而一以堅求穿四之求壤五之皆三而一臣淳風等謹按此術竝今有之義也重張穿地積一萬尺為所有數堅率三壤率五各為所求率墟率四為所有率而今有之卽得 |
| 7 | 城垣隄溝壍渠皆同術 |
| 8 | 術曰并上下廣而半之損廣補狹以高若深乘之又以袤乘之卽積尺按此術并上下廣而半之者以盈補虚得中平之廣以高若深乘之堅率三壤率五各為所求率墟率四為所有率而今有之得一頭之立羃又以袤乘之者得立實之積故為積尺 |
| 9 | 今有城下廣四丈上廣二丈高五丈袤一百二十六丈五尺問積幾何 |
| 10 | 荅曰一百八十九萬七千五百尺 |
| 11 | 今有垣下廣三尺上廣二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸問積幾何 |
| 12 | 荅曰六千七百七十四尺 |
| 13 | 今有隄下廣二丈上廣八尺高四尺袤一十二丈七尺問積幾何 |
| 14 | 荅曰七千一百一十二尺 |
| 15 | 冬程人功四百四十四尺問用徒幾何 |
| 16 | 荅曰一十六人一百一十一分人之二 |
| 17 | 術曰以積尺為實程功尺數為法實如法而一卽用徒人數 |
| 18 | 今有溝上廣一丈五尺下廣一丈深五尺袤七丈問積幾何 |
| 19 | 荅曰四千三百七十五尺 |
| 20 | 春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四問用徒幾何 |
| 21 | 荅曰七人三千六十四分人之四百二十七 |
| 22 | 術曰置本人功去其五分之一餘為法去其五分之一者謂以四乘五除也以溝積尺為實實如法而一得用徒人數按此術本置人功去其五分之一者謂以四乘之五而一除去出土之功取其定功乃通分內子以為法以分母乘溝積尺為實者法裏有分實裏通之實如法而一卽用徒人數此以一人之積尺除其衆尺故用徒人數不盡者等數約之而命分也 |
| 23 | 今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸問積幾何 |
| 24 | 荅曰一萬九百四十三尺八寸八寸者謂穿地方尺深八寸此積餘有方寸中二分四釐五毫乘之貴欲從易非其常定也 |
| 25 | 夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙礫水石之功作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四問用徒幾何 |
| 26 | 荅曰四十七人三千四百八十四分人之四百九 |
| 27 | 術曰置本人功去其出土功五分之一又去沙礫水石之功太半餘為法以壍積尺為實實如法而一卽用徒人數按此術置本人功去其出土功五分之一者謂以四乘五除又去沙礫水石作太半者一乘三除存其少半取其定功乃通分內子以為法以分母乘壍積尺為實法裏有分實裏通之實如法而一卽用徒人數不盡者等數約之而命分也 |
| 28 | 今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積幾何荅曰一千七萬四千五百八十五尺六寸 |
| 29 | 秋程人功三百尺問用徒幾何 |
| 30 | 荅曰三萬三千五百八十一一人功內少一十四尺四寸 |
| 31 | 一千人先到問當受袤幾何 |
| 32 | 荅曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八 |
| 33 | 術曰以一人功尺數乘先到人數為實以一千人一日功為實立幂為功并渠上下廣而半之以深乘之為法以渠廣深之立幂為法實如法得袤尺 |
| 34 | 今有方堢壔堢者堢城也壔音丁老切又音纛謂以土擁木也方一丈六尺高一丈五尺問積幾何 |
| 35 | 荅曰三千八百四十尺 |
| 36 | 術曰方自乘以高乘之卽積尺 |
| 37 | 今有圓堢壔周四丈八尺高一丈一尺問積幾何 |
| 38 | 荅曰二千一百一十二尺於徽術當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一臣淳風等謹按依密率積二千一十六尺 |
| 39 | 術曰周自相乘以高乘之十二而一此章諸術亦以周三徑一為率皆非也於徽術當以周自乘以高乘之又以二十五乘之三百一十四而一此之圓羃亦如圓田之羃也求羃亦如圓田而以高乘羃也臣淳風等謹按依密率以七乘之八十八而一 |
| 40 | 今有方亭下方五丈上方四丈高五丈問積幾何 |
| 41 | 荅曰一十萬一千六百六十六尺太半尺 |
| 42 | 術曰上下方相乘又各自乘并之以高乘之三而一此章有壍堵陽馬皆合而成立方蓋說算者乃立棊三品以效高深之積假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵四四角陽馬四上下方相乘為三尺以高乘之約積三尺是為得中央立方一四面壍堵各一上方自乘亦得中央立方一下方自乘為九以高乘之得積九尺是為中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三也上方自乘以高乘之得積一尺又為中央立方一凡三品棊皆一而為三故三而一得積尺用棊之數立方三壍堵陽馬各十二凡二十七棊十二與三更差次之而成方亭者三驗矣為術又可令方差自乘以高乘之三而一卽四陽馬也上下方相乘以高乘之卽中央立方及四面壍堵也并之以為方亭積數也 |
| 43 | 今有圓亭下周三丈上周二丈高一丈問積幾何 |
| 44 | 荅曰五百二十七尺九分尺之七於徽術當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也按密率為積五百三尺三十三分尺之二十六 |
| 45 | 術曰上下周相乘又各自乘并之以高乘之三十六而一此術周三徑一之義合以三除上下周各為上下徑以相乘又各自乘并以高乘之三而一為方亭之積假令三約上下周俱不盡還通之卽各為上下徑令上下徑分母相乘又各自乘并以高乘之為三方亭之積此合分母三相乘得九分母各自乘亦得九為法除之又三而一得方亭之積從方亭求圓亭之積亦猶方羃中求圓羃乃令圓率三乘之方率四而一得圓亭之積前求方亭之積乃以三而一今求圓亭之積亦各三乘之二母旣同故相凖折惟以方羃四乘分母九得三十六而連除之於徽術當上下周相乘又各自乘并以高乘之又二十五乘之九百四十二而一此方亭四角圓殺比於方亭二百分之一百五十七為術之意先作方亭三而一則此據上下徑為之者當又以一百五十七乘之六百而一也今據周為之若於圓堢壔又以二十五乘之三百一十四而一則先得三圓亭矣故以三百一十四為九百四十二而一并除之臣淳風等謹按依密率以七乘之二百六十四而一 |
| 46 | 今有方錐下方二丈七尺高二丈九尺問積幾何 |
| 47 | 荅曰七千四十七尺 |
| 48 | 術曰下方自乘以高乘之三而一按此術假令方錐下方二尺高一尺卽四陽馬如術為之用十二陽馬成三方錐故三而一得陽馬也 |
| 49 | 今有圓錐下周三丈五尺高五丈一尺問積幾何 |
| 50 | 荅曰一千七百三十五尺一十二分尺之五於徽術當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三依密率為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七 |
| 51 | 術曰下周自乘以高乘之三十六而一按此術圓錐下周以為方錐下方方錐下方令自乘以高乘之合三而一得大錐方之積大錐方之積合十二圓矣今求一圓復合十二除之故令三乘十二得三十六而連除於徽術當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一圓錐比於方錐亦二百分之一百五十七令徑自乘者亦當以一百五十七乘之六百而一其說如圓亭也臣淳風等謹按依密率以七乘之二百六十四而一 |
| 52 | 今有壍堵下廣二丈袤一十八丈六尺高二丈五尺問積幾何 |
| 53 | 荅曰四萬六千五百尺 |
| 54 | 術曰廣袤相乘以高乘之二而一邪解立方得兩壍堵雖復橢方亦為壍堵故二而一此則合所規羃推其物體蓋為壍上疊也其形如城而無上廣與所規棊形異而同實未聞所以名之為壍堵之說也 |
| 55 | 今有陽馬廣五尺袤七尺高八尺問積幾何 |
| 56 | 荅曰九十三尺少半尺 |
| 57 | 術曰廣袤相乘以高乘之三而一按此術陽馬之形方錐一隅也今謂四柱屋隅為陽馬假令廣袤各一尺高一尺相乘之得立方積一尺邪解立方得兩壍堵邪解壍堵其一為陽馬一為鼈臑陽馬居二鼈臑居一不易之率也合兩鼈臑成一陽馬合三陽馬而成一立方故三而一驗之以棊其形露矣悉割陽馬凡為六鼈臑觀其割分則體勢互通蓋易了也其棊或脩短或廣狹立方不等者亦割分以為六鼈臑其形不悉相似然見數同積實均也鼈臑殊形然陽馬異體則不純合不純合則難為之矣何則按邪解方棊以為壍堵者必當以半為分邪解壍堵以為陽馬者亦必當以半為分一從一横耳設陽馬為分內鼈臑為分外棊雖或隨脩短廣狹猶有此分常率如殊形異體亦同也者以此而已其使鼈臑廣袤各高二尺用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使陽馬之廣袤高各二尺用立方之棊一壍堵陽馬之棊各二皆用黑棊棊之赤黑接為壍堵廣袤高各二尺於是中效其廣又中分其高令赤黑壍堵各自適當一方高二尺方二尺每二分鼈臑則一陽馬也其餘兩端各積本體合成一方焉是為别種而方者率居三通其體而方者率居一雖方隨棊改而固有常然之勢也按餘數具而可知者有一二分之别卽一二之為率定矣其於理也豈虛矣若為數而窮之置餘廣袤高之數各半之則四分之三又可知也半之彌少其餘彌細至細曰微微則無形由是言之安取餘哉數而求窮之者謂以情推不用籌算鼈臑之物不同器用陽馬之形或隨脩短廣狹然不有鼈臑無以審陽馬之數不有陽馬無以知錐亭之數功實之主也 |
| 58 | 今有鼈臑下廣五尺無袤上袤四尺無廣高七尺問積幾何 |
| 59 | 荅曰二十三尺少半尺 |
| 60 | 術曰廣袤相乘以高乘之六而一按此術臑者臂骨也或曰半陽馬其形有似鼈肘故以名云中破陽馬得兩鼈臑鼈臑之見數卽陽馬之半數數同而實據半故云六而一卽得 |
| 61 | 今有羡除下廣六尺上廣一丈深三尺末廣八尺無深袤七尺問積幾何 |
| 62 | 荅曰八十四尺 |
| 63 | 術曰并三廣以深乘之又以袤乘之六而一按此術羨除實隧道也其所穿地上平下邪似兩鼈臑夾一壍堵卽羨除之形假令用此棊上廣三尺深一尺下廣一尺末廣一尺無深袤一尺下廣皆壍堵之廣上廣者兩鼈臑與一壍堵相連之廣也以深袤乘得積五尺鼈臑居二壍堵居三其於本棊皆以為六故六而一合四陽馬以為方錐邪畫方錐之底亦令為中方就中方削而上合全為中方錐之半於是陽馬之棊悉中解矣中錐離而為四鼈臑焉故外錐之半亦為四鼈臑雖背正異形與常所謂鼈臑參不相似實則同也所云夾壍堵者中錐之鼈臑也凡壍堵上袤短者連陽馬也下袤短者與鼈臑連也下兩袤相等者亦與鼈臑連也并三廣以高袤乘六而一皆其積也今此羨除之廣卽壍堵之袤也按此本是三廣不等卽與鼈臑連者别而言之中央壍堵廣六尺高三尺袤七尺末廣之兩旁各一小鼈臑皆與壍堵等令小鼈臑居裏大鼈臑居表則大鼈臑出橢皆方錐下廣三尺袤六尺高七尺分取其半則為袤三尺以高廣乘之三而一卽半錐之積也邪解半錐得此兩大鼈臑求其積亦當六而一合與常率矣按陽馬之棊兩邪棊底方當其方也不問旁角而割之相半可知也推此上連無成不方故方錐與陽馬同實角而割之者相半之勢此大小鼈臑可知更相表裏但體有背正也 |
| 64 | 今有芻甍下廣三丈袤四丈上袤二丈無廣高一丈問積幾何 |
| 65 | 荅曰五千尺 |
| 66 | 術曰倍下袤上袤從之以廣乘之又以高乘之六而一推明義理者舊說云凡積芻甍有上下廣曰童甍謂其屋蓋之茨也是故甍之下廣袤與童之上廣袤等正斬方亭兩邊合之卽芻甍之形也假令下廣二尺袤三尺上袤一尺無廣高一尺其用棊也中央壍堵二兩端陽馬各二倍下袤上袤從之為七尺以高廣乘之得羃十四尺陽馬之羃各居一壍堵之羃各居三以高乘之得積十四尺其於本棊也皆一而為六故六而一卽得亦可令上下袤差乘廣以高乘之三而一卽四陽馬也下廣乘上袤而半之高乘之卽二壍堵并之以為甍積也 |
| 67 | 芻童曲池盤池𭁷谷皆同術 |
| 68 | 術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤上袤從之各以其廣乘之并以高若深乘之皆六而一按此術假令芻童上廣一尺袤二尺下廣三尺袤四尺高一尺其用棊也中央立方二四面壍堵六四角陽馬四倍下袤為八上袤從之為十以下廣乘之得積三十尺是為得中央立方各三兩邊壍堵各四兩旁壍堵各六四角陽馬亦各六復倍上袤下袤從之為八以高廣乘之得積八尺是為得中央立方亦各三兩端壍堵各二并兩旁三品棊皆一而為六故六而一卽得為術又可令上下廣袤差相乘以高乘之三而一亦四陽馬上下廣袤互相乘并而半之以高乘之卽四面六壍堵與二立方并之為芻童積又可令上下廣袤互相乘而半之上下廣袤又各自乘并以高乘之三而一卽得也其曲池者并上中外周而半之以為上袤亦并下中外周而半之以為下袤此池環而不通匝形如盤虵而曲之亦云周者謂如委榖依垣之周耳引而伸之周為袤求袤之意環田也 |
| 69 | 今有芻童下廣二丈袤三丈上廣三丈袤四丈高三丈問積幾何 |
| 70 | 荅曰一萬六千五百尺 |
| 71 | 今有曲池上中周二丈外周四丈廣一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺廣五尺深一丈問積幾何 |
| 72 | 荅曰一千八百八十三尺三寸少半寸 |
| 73 | 今有盤池上廣六丈袤八丈下廣四丈袤六丈深二丈問積幾何 |
| 74 | 荅曰七萬六百六十六尺太半尺 |
| 75 | 負土往來七十步其二十步上下棚除棚除二當平道五踟蹰之間十加一載輸之間三十步定一返一百四十步土籠積一尺六寸秋程人功行五十九里半問人到積尺及用徒各幾何 |
| 76 | 荅曰 |
| 77 | 人到二百四尺 |
| 78 | 用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二 |
| 79 | 術曰以一籠積尺乘程行步數為實往來上下棚除二當平道五棚閣除邪道有上下之難故使二當五也置定往來步數十加一及載輸之間三十步以為法除之所得卽一人所到尺按此術棚閣除邪道有上下之難故使二當五置定往來步數十加一及載輸之間三十步是為往來求一返凡用一百四十步於今有術為所有行率籠積一尺六寸為所求到土率程行五十九里半為所有數而今有之卽人到尺數以所到約積尺卽用徒人數者此一人之積除其衆積尺故得用徒人數為術又可令往來一返所用之步約程行為返數乘籠積為一人所到以此術與今有術相反覆則乘除之或先後意各有所在而同歸耳以所到約積尺卽用徒人數今有𭁷谷上廣二丈袤七丈下廣八尺袤四丈深六丈五尺問積幾何 |
| 80 | 荅曰五萬二千尺 |
| 81 | 載土往來二百步載輸之間一里程行五十八里六人共車車載三十四尺七寸問人到積尺及用徒各幾何 |
| 82 | 荅曰 |
| 83 | 人到二百一尺五十分尺之十三 |
| 84 | 用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六 |
| 85 | 術曰以一車積尺乘程行步數為實置今往來步數加載輸之間一里以車六人乘之為法除之所得卽一人所到尺按此術今有之義以載輸及往來并得五百步為所有行率車載三十四尺七寸為所求到土率程行五十八里通之為步為所有數而今有之所得則一車所到欲得人到者當以六人除之卽得術有分故亦更令乘法而并除者亦用以半尺數以為一人到土率六人乘五百步為行率也又可以五百步為行率令六人約半積尺數為一人到土率以載土術入之入之者亦可求返數也要取其會通而已術恐有分故令乘法而并除以所到約積尺卽用徒人數者以一人所積尺除其衆積故得射徒人數也以所到約積尺卽用徒人數 |
| 86 | 今有委粟平地下周一十二丈高二丈問積及為粟幾何 |
| 87 | 荅曰 |
| 88 | 積八千尺於徽術當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九臣淳風等謹按依密率為積七千六百三十六尺十一分尺之四 |
| 89 | 為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六於徽術當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十臣淳風等謹按依密率為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八 |
| 90 | 今有委菽依垣下周三丈高七尺問積及為菽各幾何 |
| 91 | 荅曰 |
| 92 | 積三百五十尺依徽術當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六也臣淳風等謹按依密率為積三百三十四尺十一分尺之一 |
| 93 | 為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八依徽術當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之十千七百七十一臣淳風等謹按依密率為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三 |
| 94 | 今有委米依垣內角下周八尺高五尺問積及為米幾何 |
| 95 | 荅曰 |
| 96 | 積三十五尺九分尺之五於徽術當積三十二尺四百七十一分尺之四百五十七臣淳風等謹按依密率當積三十三尺三十三分尺之三十一 |
| 97 | 為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一於徽術當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十臣淳風等謹按依密率為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十 |
| 98 | 委粟 |
| 99 | 術曰下周自乘以高乘之三十六而一此猶圓錐也於徽術亦當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也 |
| 100 | 其依垣者居圓錐之半也十八而一於徽術當令此下周自乘以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半於全周其自乘之羃居全周自乘之羃四分之一故半全周之法以為法也其依垣內角者角隅也居圓錐四分之一也九而一於徽術當令此下周自乘而倍之以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半於依垣其自乘之羃居依垣自乘之羃四分之一當半依垣之法以為法法不可半故倍其實又此術亦用周三徑一之率假令以三除周得徑若不盡通分內子卽為徑之積分令自乘以高乘之為三方錐之積分母自相乘得九為法又當三而一約方錐之積從方錐中求圓錐之積亦猶方羃求圓羃乃當三乘之四而一得圓羃之積前求方積乃合三而一今求圓錐之積復合三乘之二母旣同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而連除圓錐之積其圓錐之積與平地聚粟同故三十六而一臣淳風等謹依密率以七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六十六而一也 |
| 101 | 程粟一斛積二尺七寸二尺七寸者謂方一尺深二尺七寸凡積二千七百寸其米一斛積一尺六寸五分寸之一謂積一千六百二十寸其菽荅麻麥一斛皆二尺四寸十分寸之三謂積二千四百三十寸此為以精麤為率而不等其槩也粟率五米率三故米一斛於粟一斛五分斛之三菽荅麻麥亦如本率云故謂此三量器為槩而皆不合於今斛當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐正深一尺於徽術為積一千四百四十一寸排成餘分又有十分寸之三王莽銅斛於今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐二毫以徽術計之於今斛為容九斗七升四合有奇《周官》〈考工記〉㮚氏為量深一尺內方一尺而圓外其實一鬴於徽術此圓積一千五百七十六寸左氏傳曰齊舊四量豆區釜鍾四升曰豆各自其四以登於釜釜十則鍾鍾六斛四斗釜六斗四升方一尺深一尺其積一千寸若此方積容四斗二升則通外圓積成旁容十斗四合一龠五分龠之三也以數相乘之則斛之制方一尺而圓其外庣旁一釐七毫羃一百五十六寸四分寸之一深一尺積一千五百六十二寸半容十斗王莽銅斛與《漢書》律歷志所論斛同 |
| 102 | 今有穿地袤一丈六尺深一丈上廣六尺為垣積五百七十六尺問穿地下廣幾何 |
| 103 | 荅曰三尺五分尺之三 |
| 104 | 術曰置垣積尺四之為實實穿地四為堅三垣堅也以堅求穿地當四之三而一也以深袤相乘為深袤之立實也又以三之為法以深袤乘之立實除垣積則阬廣又三之者與堅率并除之所得倍之阬有兩廣先并而半之卽為廣狹之中平今先得其中平故又倍之知兩廣全也減上廣餘卽下廣按此術穿地四為堅三垣卽堅也今以堅求穿地當四乘之三而一深袤相乘者為深袤立羃以深袤立羃除積卽阬廣又三之為法與堅率并除所得倍之者為阬有兩廣先并而半之為中平之廣今此得中平之廣故倍之還為兩廣并故減上廣餘卽下廣也 |
| 105 | 今有倉廣三丈袤四丈五尺容粟一萬斛問高幾何 |
| 106 | 荅曰二丈 |
| 107 | 術曰置粟一萬斛積尺為實廣袤相乘為法實如法而一得高尺以廣袤之羃除積故得高按此術本以廣袤相乘以高乘之得此積今還原置此廣袤相乘為法除之故得高也 |
| 108 | 今有圓囷圓囷廩也亦云圓囤也高一丈三尺三寸少半寸容米二千斛問周幾何 |
| 109 | 荅曰五丈四尺於徽術當周五丈五尺二寸二十分寸之九臣淳風等謹依密率為周五丈五尺一百分尺之二十七 |
| 110 | 術曰置米積尺此卽猶圓堢壔之積以十二乘之令高而一所得開方除之卽周於徽術當置米積尺以三百一十四乘之為實二十五乘囷高為法所得開方除之卽周也此亦據見羃以求周失之於微少也晉武庫中有漢時王莽所作銅斛其篆書字題斛旁云律嘉量斛方一尺而圓其外庣旁九釐五毫羃一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圜其外庣旁九釐五毫羃一尺六寸二分深一寸積一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有讃文與今律歷志同亦魏晉所常用今祖疏王莽銅斛文字尺寸分數然不盡得升合勺之文字按此術本周自相乘以高乘之十二而一得此積今還元置此積以十二乘之令高而一卽復本周自乘之數凡物自乘開方除之復其本周自乘之數故開方除之卽得也臣淳風等謹依密率以八十八乘之為實七乘囷高為法實如法而一開方除之卽周也 |
| 111 | 《九章算術》卷五 |
《九章算術卷五訂訛 算經十書之二》 | |
| 1 | 休寧 戴震 東原 |
| 2 | 今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤十三丈二尺一寸問積幾何荅曰一萬九百四十三尺八寸此積以立方一尺者計之餘有方尺而深八寸二分四釐五毫實八十二萬四千五百分也 |
| 3 | 今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積幾何荅曰一千七萬四千五百八十五尺六寸此六寸亦方尺而深六寸實積六百寸也 |
《九章算術卷第六 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《均輸》 | |
| 1 | 以御遠近勞費 |
| 2 | 今有均輸粟甲縣一萬戸行道八日乙縣九千五百戸行道十日丙縣一萬二千三百五十戸行道十三日丁縣一萬二千二百戸行道二十日各到輸所凡四縣賦當輸二十五萬斛用車一萬乘欲以道里遠近戸數多少衰出之問粟車各幾何 |
| 3 | 荅曰 |
| 4 | 甲縣粟八萬三千一百斛車三千三百二十四乘 |
| 5 | 乙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘 |
| 6 | 丙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘 |
| 7 | 丁縣粟四萬五百五十斛車一千六百二十二乘 |
| 8 | 均輸按此均輸猶均運也令戸率出車以行道日數為均發粟為輸 |
| 9 | 術曰令縣戸數各如其本行道日數而一以為衰據甲行道八日因使八戸共出一車乙行道十日因使十戸共出一車計其在道則皆戸一日出一車故可為均平之率也甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并為法以賦粟車數乘未并者各自為實衰分科率實如法得一車各置所當出車以其行道日數乘之如戸數而一得率戸用車二百四十七分日之三十一故謂之均求此率以戸當各計車之衰分也臣淳風等謹按縣戸有多少之差行道有遠近之異欲其均等故各令行道日數約戸為衰行道多者少其戸行道少者多其戸故各令約戸為衰以八日約除甲縣得一百二十五乙丙各九十五丁六十一於今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦粟車數為所有數而今有之各得車數一旬除乙十三除丙各得九十五二旬除丁得六十一也有分者上下軰之軰配也車牛人之數不可分裂推少就多均賦之宜今按甲分旣少宜從於乙滿法除之有餘從丙丁分又少亦宜就丙除之適盡加乙丙各一上下軰益以少從多也以二十五斛乘車數卽粟數 |
| 10 | 今有均輸卒甲縣一千二百人薄塞乙縣一千五百五十人行道一日丙縣一千二百八十人行道二日丁縣九百九十人行道三日戊縣一千七百五十人行道五日凡五縣賦輸卒一月一千二百人欲以遠近戸率多少衰出之問縣各幾何 |
| 11 | 荅曰 |
| 12 | 甲縣二百二十九人 |
| 13 | 乙縣二百八十六人 |
| 14 | 丙縣二百二十八人 |
| 15 | 丁縣一百七十一人 |
| 16 | 戊縣二百八十六人 |
| 17 | 術曰令縣卒各如其居所及行道日數而一以為衰按此亦以日數為均居所為輸甲無行道日但以居所三十日為率言欲為均平之率者當使甲三十人而出一人乙三十一人而出一人出一人者計役則皆一人一日是以可為均平之率甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并為法以人數乘未并者各自為實實如法而一各置所當出人數以其居所及行道日數乘之如縣人數而一得戸率人役五日七分日之五臣淳風等謹按為衰於今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦卒人數為所有數此術以别考則意同以廣異聞故存之也有分者上下軰之軰配也今按丁分最少宜就戊除不從乙者丁近戊故也滿法除之有餘從乙丙分又少亦就乙除有餘從甲除之適盡從甲丙二分其數正等二者於乙遠近皆同不以甲從乙者方以下從上也 |
| 18 | 今有均賦粟甲縣二萬五百二十戸粟一斛二十錢自輸其縣乙縣一萬二千三百一十二戸粟一斛十錢至輸所二百里丙縣七千一百八十二戸粟一斛十二錢至輸所一百五十里丁縣一萬三千三百三十八戸粟一斛十七錢至輸所二百五十里戊縣五千一百三十戸粟一斛十三錢至輸所一百五十里凡五縣賦輸粟一萬斛一車載二十五斛與僦一里一錢欲以縣戸賦粟令費勞等問縣各粟幾何 |
| 19 | 荅曰 |
| 20 | 甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七 |
| 21 | 乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十 |
| 22 | 丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六 |
| 23 | 丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三 |
| 24 | 戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三 |
| 25 | 術曰以一里僦價乘至輸所里此以出錢為均也問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢卽一里僦價也以乘里數者欲知僦一車到輸所所用錢也甲自輸其縣則無取僦價也以一車二十五斛除之欲知僦一斛所用錢加一斛粟價則致一斛之費加一斛之價於一斛僦直卽凡餘粟取僦錢也甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊十九也各以約其戸數為衰言使甲二十戸共出一斛乙丙十八戸共出一斛計其所費則皆戸一錢故可為均賦之率也甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并為法所賦粟乘未并者各自為實實如法而一各置所當出粟以其十斛之費乘之如戸數而一得率戸出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一臣淳風等謹按此以出錢為均問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢卽一里僦價也以乘里數者欲知僦一車到輸所用錢甲自出其縣則無取僦之價以一車二十五斛除之者欲知僦一斛所用錢加一斛之價於一斛僦直卽凡餘粟取僦錢甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊十九各以約其戸為衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十戸共出一斛乙丙十八戸共出一斛計其所費則皆戸一錢故可為均賦之率也於今有術副并為所有率未并者各為所求率賦粟一萬斛為所有數此今有衰分之義也計經賦之率旣有戸算之率亦有遠近貴賤之率此二率者各自相與通通則甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之費為之錢率錢率約戸率者則錢為母戸為子子不齊令母互乘為齊卽衰也若其不然以一斛之費約戸數取衰竝有分當通分內子約之於算甚䌓此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而已又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸數乘之亦可得一縣凡所當輸俱為衰也乘之者乘其子母報除之以此觀之則以一斛之費約戸數者其意不異矣然則可置一斛之費而反衰之約戸以乘戸率為衰也合分注曰母除為率率乘子為齊反衰注曰先同其母各以分母約其子為反衰以施其率為算旣約且不妨處下也 |
| 26 | 今有均賦粟甲縣四萬二千算粟一斛二十傭價一日一錢自輸其縣乙縣三萬四千二百七十二算粟一斛十八傭價一日十錢到輸所七十里丙縣一萬九千三百二十八算粟一斛十六傭價一日五錢到輸所一百四十里丁縣一萬七千七百算粟一斛十四傭價一日五錢到輸所一百七十五里戊縣二萬三千四十算粟一斛十二傭價一日五錢到輸所二百一十里已縣一萬九千一百三十六算粟一斛一十傭價一日五錢到輸所二百八十里凡六縣賦粟六萬斛皆輸甲縣六人共車車載二十五斛重車日行五十里空車日行七十里載輸之間各一日粟有貴賤傭各别價以算出錢令費勞等問縣各粟幾何 |
| 27 | 荅曰 |
| 28 | 甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九 |
| 29 | 乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九 |
| 30 | 丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六 |
| 31 | 丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二 |
| 32 | 戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四 |
| 33 | 己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六 |
| 34 | 術曰以車程行空重相乘為法并空重以乘道里各自為實實如法得一日臣淳風等謹按此術重往空還一輸再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齊而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日也故并空重者齊其子也空重相乘者同其母也於今有術至輸所里為所有數六為所求率齊一百七十五為所有率而今有之卽各得輸所用日也加載輸各一日欲得幾日也而以六人乘之欲知致一車用人也又以傭價乘之欲知致車人傭直幾錢以二十五斛除之欲知致一斛之傭直也加一斛粟價卽致一斛之費加一斛之價於致一斛之傭直卽凡輸一斛餘粟取傭所用錢各以約其算數為衰今按甲衰四十二乙衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十已衰十六於今有術副并為所有率未并者各自為所求率所賦粟為所有數此今有衰分之義也副并為法以所賦粟乘未并者各自為實實如法得一斛各置所當出粟以其一斛之費乘之如算數而一得率算出九錢一百三十三分錢之三又載輸之間各一日者卽二日也 |
| 35 | 今有粟七斗三人分春之一人為糲米一人為粺米一人為糳米令米數等問取粟為米各幾何 |
| 36 | 荅曰 |
| 37 | 糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十 |
| 38 | 粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八 |
| 39 | 糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三 |
| 40 | 為米各一斗六百五分斗之一百五十一 |
| 41 | 術曰列置糲米三十粺米二十七糳米二十四而反衰之此先約三率糲為十粺為九糳為八欲令米等者其取粟糲率十分之一粺率九分之一糳率八分之一當齊其子故曰反衰也臣淳風等謹按米有精麤之異有多少之差據率粺糳少而糲多用粟則粺糳多而糲少米若依本率之分粟當倍率故今反衰之使精取多而麤得少副并為法以七斗乘未并者各自為取粟實實如法得一斗於今有術副并為所有率未并者各為所求率粟七斗為所有數而今有之故各得取粟也若求米等者以本率各乘定所取粟為實以粟率五十為法實如法得一斗若徑求為米等數者置糲米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二用粟二十五齊其粟同其米并齊為法以七斗乘同為實所得卽為米斗數 |
| 42 | 今有人當稟粟二斛倉無粟欲與米一菽二以當所稟粟問各幾何 |
| 43 | 荅曰 |
| 44 | 米五斗一升七分升之三 |
| 45 | 菽一斛二升七分升之六 |
| 46 | 術曰置米一菽二求為粟之數并之得三九分之八以為法亦置米一菽二而以粟二斛乘之各自為實實如法得一斛臣淳風等謹按置粟率五乘米一米率三除之得一三分之二卽是米一之粟也粟率十以乘菽二菽率九除之得二九分之二卽是菽二之粟也并全得三齊子并之得二十四同母得二十七約之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二當粟三九分之八此其粟率也於今有術米一菽二皆為所求率當粟三九分之八為所有率粟二斛為所有數凡言率者當相與通之則為米九菽十八當粟三十五也亦有置米一菽二求其為粟之率以為列衰副并為法以粟乘列衰為實所得卽米一菽二所求粟也以米菽本率而今有之卽合所問 |
| 47 | 今有取傭負鹽二斛行一百里與錢四十今負鹽一斛七斗三升少半升行八十里問與錢幾何 |
| 48 | 荅曰二十七錢十五分錢之十一 |
| 49 | 術曰置鹽二斛升數以一百里乘之為法按此術以負鹽二斛升數乘所行一百里得二萬里是為負鹽一升行二萬里得錢四十於今有術為所有率升數乘所行里為法於今有術為所有數也以四十錢乘今負鹽升數又以八十里乘之為實實如法得一錢以今負鹽升數乘所行里今負鹽一升凡所行里也於今有術以所有四十錢為所求率也衰分章貸人千錢與此同 |
| 50 | 今有負籠重一石一十七斤行七十六步五十返今負籠重一石行百步問返幾何 |
| 51 | 荅曰五十七返二千六百三分返之一千六百二十九 |
| 52 | 術曰以故所行步數乘故籠重斤數為法此法謂負一斤一返所行之積步也今籠重斤數乘今步又以返數乘之為實實如法得一返按此法負一斤一返所行之積步此實者一斤一日所行之積步故以一返之課除終日之程卽是返數也臣淳風等謹按此術所行步多者得返少所行步少者得返多然則所行者今返率也故令所得返乘今返之率為實而以故返之率為法今有術也按此負籠又有輕重於是為術者因令重者得返少輕者得返多故又因其率以乘法實者重今有之義也然此意非也按此籠雖輕而行有限籠過重則人力遺力有遺而術無窮人行有限而籠輕重不等使其有限之力隨彼無窮之變故知此術率乖理也若故所行有空行返數設以問者當因其所負以為返率則今返之數可得而知也假令空行一日六十里負重一斛行四十里減重一斗進二里半負重三斗以下與空行同今負籠重六斗往還行一百步問返幾何荅曰一百五十返術曰置重行率加十里以里法通之為實以一返之步為法實如法而一卽得也 |
| 53 | 今有程傳委輸空車日行七十里重車日行五十里今載太倉粟輸上林五日三返問太倉去上林幾何 |
| 54 | 荅曰四十八里十八分里之十一 |
| 55 | 術曰并空重里數以三返乘之為法令空重相乘又以五日乘之為實實如法得一里此亦如上術率一百七十五里之路往返用六日也於今有術則五日為所有數一百七十五里為所求率六日為所有率以此所得則三返之路今求一返當以三約之因令乘法而并除也為術亦可各置空重行一里用日之率以為列衰副并為法以五日乘列衰為實實如法所得卽各空重行日數也各以一日所行以乘為凡日所行三返約之為上林去太倉之數臣淳風等謹按此術重往空還一輸再還道置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齊而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日故并空重者并齊也空重相乘者同其母也於今有術五日為所有數一百七十五為所求率六為所有率以此所得則三返之路今求一返者當以三約之故令乘法而并除亦當約之也 |
| 56 | 今有絡絲一斤為練絲十二兩練絲一斤為靑絲一斤十二銖今有靑絲一斤問本絡絲幾何 |
| 57 | 荅曰一斤四兩十六銖三十三分銖之十六 |
| 58 | 術曰以練絲十二兩乘靑絲一斤十二銖為法以靑絲一斤銖數乘練絲一斤兩數又以絡絲一斤乘之為實實如法得一斤按練絲一斤為靑絲一斤十二銖此練率三百八十四靑率三百九十六也又絡絲一斤為練絲十二兩此絡率十六練率十二也置今有靑絲一斤以練率三百八十四乘之為實實如靑絲率三百九十六而一所得靑絲一斤練絲之數也又以絡率十六乘之所得為實以練率十二為法所得卽練絲用絡絲之數也是謂重今有也雖各有率不用中間故令後實乘前實後法乘前法而并除也故以練絲兩數為實靑絲銖數為法一曰又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩約之絡得四練得三此其相與之率又置練絲一斤銖數與靑絲一斤十二銖約之練得三十二靑得三十三亦其相與之率齊其靑絲絡絲同其二練絡得一百二十八靑得九十九練得九十六卽三率悉通矣今有練絲一斤為所有數絡絲一百二十八為所求率靑絲九十九為所有率為率之意猶此但不先約諸率耳凡率錯互不通者皆積齊同用之放此雖四五轉不異也言同其二練者以明三率之相與通耳於術無以異也又一術今有靑絲一斤銖數乘練絲一斤兩數為實以靑絲一斤十二銖為法所得卽用練絲兩數以絡絲一斤乘所得為實以練絲十二兩為法所得卽用絡絲斤數也 |
| 59 | 今有惡粟二十斗春之得糲米九斗今欲求粺米十斗問惡粟幾何 |
| 60 | 荅曰二十四斗六升八十一分升之七十四 |
| 61 | 術曰置糲米九斗以九乘之為法亦置粺米十斗以十乘之又以惡粟二十斗乘之為實實如法得一斗按此術置今有求粺米十斗以糲米率十乘之如糲率九而一卽糲亦化為惡粟矣此亦重今有之義為術之意猶絡絲也雖各有率不問中間故令後實乘前實後法乘前法而并除之也 |
| 62 | 今有善行者行一百步不善行者行六十步今不善行者先行一百步善行者追之問幾何步及之 |
| 63 | 荅曰二百五十步 |
| 64 | 術曰置善行者一百步減不善行者六十步餘四十步以為法以善行者之一百步乘不善行者先行一百步為實實如法得一步按此術以六十步減一百步餘四十步卽不善行者先行率也善行者行一百步追及率約之追及率得五先行率得二於今有術不善行者先行一百步為所有數五為所求率二為所有率而今有之得追及步也 |
| 65 | 今有不善行者先行十里善行者追之一百里先至不善行者二十里問善行者幾何里及之 |
| 66 | 荅曰三十三里少半里 |
| 67 | 術曰置不善行者先行十里以善行者先至二十里增之以為法以不善行者先行十里乘善行者一百里為實實如法得一里按此術不善行者旣先行十里後不及二十里并之得三十里也謂之先行率善行者一百里為追及率約之先行率得三三為所有率而今有之卽得也其意如上術 |
| 68 | 今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止問犬不止復行幾何步及之 |
| 69 | 荅曰一百七步七分步之一 |
| 70 | 術曰置兔先走一百步以犬走不及三十步減之餘為法以不及三十步乘犬追步數為實實如法得一步按此術以不及三十步減先走一百步餘七十步為兔先走率犬行二百五十步為追及率約之先走率得七追及率得二十五於今有術不及三十步為所有數二十五為所求率七為所有率而今有之卽得也 |
| 71 | 今有人持金十二斤出關關稅之十分而取一今關取金二斤償錢五千問金一斤値錢幾何 |
| 72 | 荅曰六千二百五十 |
| 73 | 術曰以十乘二斤以十二斤減之餘為法以十乘五千為實實如法得一按此術置十二斤以一乘之十而一得一斤五分斤之一卽所當稅者也減二斤餘卽關取盈金以盈除所償錢卽金値也今術旣以十二斤為所稅則是以十為母故以十乘二斤及所償錢通其率於今有術五千錢為所有數十為所求率八為所有率而今有之卽得也今有客馬日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃覺持衣追及與之而還至家視日四分之三問主人馬不休日行幾何 |
| 74 | 荅曰七百八十里 |
| 75 | 術曰置四分日之三除三分日之一按此術置四分日之三除三分日之一者除卽減也減之餘有十二分之五卽是主人追客還用日率也半其餘以為法去其還存其往率之者子不可半故倍母二十四分之五是為主人與客均行用日之率也副置法增三分日之一法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人未覺之前獨行用日之分也并連此數得二十四分日之十三則主人追及前用日之分也是為客用日率也然則主人用日率者客馬行率也客用日率者主人馬行率也母同則子齊是為客馬行率五主人馬行率十三於今有術三百里為所有數十三為所求率五為所有率而今有之卽得也以三百里乘之為實實如法得主人馬一日行欲知主人追客所行里者以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乘主人均行日分母二十四如客馬與主人均行用日分子五而一亦得主人馬一日行七百八十里也 |
| 76 | 今有金箠長五尺斬本一尺重四斤斬末一尺重二斤問次一尺各重幾何 |
| 77 | 荅曰末一尺重二斤 |
| 78 | 次一尺重二斤八兩 |
| 79 | 次一尺重三斤 |
| 80 | 次一尺重三斤八兩 |
| 81 | 次一尺重四斤 |
| 82 | 術曰令末重減本重餘卽差率也又置本重以四間乘之為下第一衰副置以差率減之每尺各自為衰按此術五尺有四間者有四差也令本末相減餘卽四差之凡數也以四約之卽得每尺之差以差數減本重餘卽次尺之重也為術所置如是而已今此率以四為母故令母乘本為衰通其率也亦可置末重以四問乘之為上第一衰以差重率加之為次下衰也副置下第一衰以為法以本重四斤徧乘列衰各自為實實如法得一斤以下第一衰為法以本重乘其分母之數而又反此率乘本重為實一乘一除勢無損益故惟本存焉衆衰相推為率則其餘可知也亦可副置末衰為法而以末重二斤乘列衰為實此雖迂廽然是其舊故就新而言之也 |
| 83 | 今有五人分五錢令上二人所得與下三人等問各得幾何 |
| 84 | 荅曰 |
| 85 | 甲得一錢六分錢之二 |
| 86 | 乙得一錢六分錢之一 |
| 87 | 丙得一錢 |
| 88 | 丁得六分錢之五 |
| 89 | 戊得六分錢之四 |
| 90 | 術曰置錢錐行衰按此術錐行者謂如立錐初一次二次三次四次五各均為一例者也并上二人為九并下三人為六六少於九三數不得等但以五四三二一為率也以三均加焉副并為法以所分錢乘未并者各自為實實如法得一錢此問者令上二人與下三人等上下部差一人其差三均加上部則得二三均加下部則得三三下部猶差一人差得一以通於本率卽上下部等也於今有術副并為所有率未并者各為所求率五錢為所有數而今有之卽得等耳假令七人分七錢欲令上二人與下五人等則上下部差三人并上部為十三下部為十五下多上少下不足減上當似上下部列差而後均減乃合所問耳此可倣下術令上二人分二錢半為上率令下三人分二錢半為下率上下二率以少減多餘為實置二人三人各半之減五人餘為法實如法得一錢卽衰相去也下衰率六分之五者丁所得錢數也 |
| 91 | 今有竹九節下三節容四升上四節容三升問中間二節欲均容各多少 |
| 92 | 荅曰 |
| 93 | 下初一升六十六分升之二十九 |
| 94 | 次一升六十六分升之二十二 |
| 95 | 次一升六十六分升之一十五 |
| 96 | 次一升六十六分升之八 |
| 97 | 次一升六十六分升之一 |
| 98 | 次六十六分升之六十 |
| 99 | 次六十六分升之五十三 |
| 100 | 次六十六分升之四十六 |
| 101 | 次六十六分升之三十九 |
| 102 | 術曰以下三節分四升為下率以上四節分三升為上率此二率者各其平率也上下率以少減多餘為實按此上下節各分所容為率者各其平率上下以少減多者餘為中間五節半之凡差故以為實也置四節三節各半之以減九節餘為法實如法得一升卽衰相去也按此術上下節所容已定之節中間相去節數也實者中間五節半之凡差也故實如法而一則每節之差也下率一升少半升者下第二節容也一升少半升者下三節通分四升之平率平率卽為中分節之容也 |
| 103 | 今有鳬起南海七日至北海鴈起北海九日至南海今鳬鴈俱起問何日相逢 |
| 104 | 荅曰三日十六分日之十五 |
| 105 | 術曰并日數為法日數相乘為實實如法得一日按此術置鳬七日一至鴈九日一至齊其至同其日定六十三日鳬九至鴈七至令鳬鴈俱起而問相逢者是為共至并齊以除同卽得相逢日故并日數為法者并齊之意日數相乘為實者猶以同為實也一日鳬飛七分至之一鴈飛九分至之一齊而同之鳬飛定日行六十三分至之九鴈飛定日行六十三分至之七是為南北海相去六十三分鳬日行九分鴈日行七分也并鳬鴈一日所行以除南北相去而得相逢日也 |
| 106 | 今有甲發長安五日至齊乙發齊七日至長安今乙發已先二日甲乃發長安問幾何日相逢 |
| 107 | 荅曰二日十二分日之一 |
| 108 | 術曰并五日七日以為法按此術并五日七日為法者猶并齊為法置甲五日一至乙七日一至齊而同之定三十五日甲七至乙五至并之為十二至者用三十五日也謂甲乙與發之率耳然則日化為至當除日故以為法也以乙先發二日減七日減七日者言甲乙俱發今以發為始發之端於本道里則餘分也餘以乘甲日數為實七者長安去齊之率也五者後發相去之率也今問後發故舍七用五以乘甲五日為二十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也實如法得一日一日甲行五分至之一乙行七分至之一齊而同之甲定日行三十五分至之七乙定日行三十五分至之五是為齊去長安三十五分甲日行七分乙日行五分也今乙先行發二日巳行十分餘相去二十五分故減乙二日餘令相乘為二十五分 |
| 109 | 今有一人三日為牡瓦三十八枚一人二日為牝瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半問成瓦幾何 |
| 110 | 荅曰二十五枚少半枚 |
| 111 | 術曰并牝牡為法牝牡相乘為實實如法得一枚此術亦與鳬鴈術同牝牡瓦相并猶如鳬鴈日飛相并也臣淳風等謹按此術并牝牡為法者并齊之意牝牡相乘為實者猶以同為實也故實如法卽得也 |
| 112 | 今有一人一日矯矢五十一人一日羽矢三十一人一日筈矢十五今令一人一日自矯羽筈問成矢幾何 |
| 113 | 荅曰八矢少半矢 |
| 114 | 術曰矯矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人太半人筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以為法以五十矢為實實如法得一矢按此術言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作猶鳬鴈共至之類亦以同為實并齊為法可令矢互乘一人為齊矢相乘為同今先令同於五十矢矢同則徒齊其歸一也以此術為鳬鴈者當鴈飛九日而一至鳬飛七日而一至七分至之二并之得二至七分至之二以為法以九日為實實如法而一得一人日矯矢之數也 |
| 115 | 今有假田初假之歲三畝一錢明年四畝一錢後年五畝一錢凡三歲得一百問田幾何 |
| 116 | 荅曰一頃二十七畝四十七分畝之三十一 |
| 117 | 術曰置畝數及錢數令畝數互乘錢數并以為法畝數相乘又以百錢乘之為實實如法得一畝按此術令畝互乘錢者齊其錢畝數相乘者同其畝同於六十則初假之歲得錢二十明年得錢十五後年得錢十二也凡三歲得錢一百為所有數同畝為所求率四十七錢為所有率今有之卽得也齊其錢同其畝亦如鳬鴈術於今有術百錢為所有數同畝為所求率并齊為所有率臣淳風等謹按假田六十畝初歲得錢二十明年得錢十五後年得錢十二并之得錢四十七是為得田六十畝三歲所治於今有術百錢為所有數六十畝為所求率四十七為所有率而今有之卽合問也 |
| 118 | 今有程耕一人一日發七畝一人一日耕三畝一人一日耰種五畝今令一人一日自發耕耰種之問治田幾何 |
| 119 | 荅曰一畝一百一十四步七十一分步之六十六 |
| 120 | 術曰置發耕耰畝數令互乘人數并以為法畝數相乘為實實如法得一畝此猶鳬鴈術也臣淳風等謹按此術亦發耕耰種畝數互乘人者齊其人畝數相乘者同其畝故并齊為法以同為實計田一百五畝發用十五人耕用三十五人種用二十一人并之得七十一工治得一百五畝故以為實而一人一日所治故以人數為法除之卽得也 |
| 121 | 今有池五渠注之其一渠開之少半日一滿次一日一满次二日半一滿次三日一满次五日一滿今皆決之問幾何日滿池 |
| 122 | 荅曰七十四分日之十五 |
| 123 | 術曰各置渠一日滿池之數并以為法按此術其一渠少半日滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是一日五分滿之二也次三日滿者是一日三分滿之一也次五日滿者是一日五分滿之一也并之得四滿十五分滿之十四也以一日為實實如法得一日此猶矯矢之術也先令同於一日日同則滿齊自鳬鴈至此其為同齊有二術焉可隨率宜也其一術列置日數及滿數其一渠少半日滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是五日二滿次三日一滿次五日一滿此謂之列置日數及滿數也令日互相乘滿并以為法日數相乘為實實如法得一日亦如鳬鴈術也臣淳風等謹按此其一渠少半日滿池者是一日三滿池也次一日一滿次二日半滿者是五日再滿次三日一滿次五日一滿此謂列置日數於右行及滿數於左行以日互乘滿者齊其滿日數相乘者同其日滿齊而日同故并齊以除同卽得也今有人持米出三關外關三而取一中關五而取一內關七而取一餘米五斗問本持米幾何荅曰十斗九升八分升之三 |
| 124 | 術曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實以餘不稅者二四六互相乘為法實如法得一斗此亦重今有術也所稅者謂今所當稅之定三五七皆為所求率二四六皆為所有率置今有餘米五斗以七乘之六而一卽內關未稅之本米也又以三乘之二而一卽外關未稅之本米也今從末求本不問中間故令中率轉相乘而同之亦如絡絲術 |
| 125 | 又一術外關三而取一則其餘本米三分之二也求外關所稅之餘則當置三分乘之二而一欲知中關以四乘之五而一欲知內關以六乘之七而一凡餘分者乘其母而以三五七相乘得一百五為分母二四六相乘得四十八為分子約而言之則是餘米於本所持三十五分之十六也於今有術餘米五斗為所有數分母三十五為所求率分子十六為所有率也 |
| 126 | 今有人持金出五關前關二而稅一次關三而稅一次關四而稅一次關五而稅一次關六而稅一并五關所稅適重一斤問本持金幾何 |
| 127 | 荅曰一斤三兩四銖五分銖之四 |
| 128 | 術曰置一斤通所稅者以乘之為實亦通其不稅者以減所通餘為法實如法得一斤此意猶上術也置一斤通所稅者謂令二三四五六相乘為分母七百二十也通其所不稅者謂令所稅之餘一二三四五相乘為分子一百二十也約而言之是為餘金於本所持六分之一也以子減母凡五關所稅六分之五也於今有術所稅一斤為所有數分母六為所求率分子五為所有率此亦重今有之義又雖各有率不問中間故令中率轉相乘而連除之卽得也置一以為持金之本率以稅率乘之除之則其率亦成積分也 |
| 129 | 《九章算術》卷第六終 |
《九章算術卷六訂訛 算經十書之二》 | |
| 1 | 休寧 戴震 東原 |
| 2 | 臣淳風等謹按為衰於今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦卒人數為所有數此術以别考則意同以廣異聞故存之也為衰二字上有脫文當云各令居所及行道曰數約縣卒為衰 |
| 3 | 計經賦之率旣有戸算之率亦有遠近貴賤之率此二率者各自相與通通則甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之費謂之錢率錢率約戸率者則錢為母戸為子子不齊令母互乘為齊卽衰也若其不然以一斛之費約戸數取衰並有分當通分內子約之於算甚繁此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而巳又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸數乘之亦可得一縣凡所當輸俱未衰也乘之者乘其子母報除之以此觀之則以一斛之費約戸數者其意不異矣然則可置一斛之費而反衰之約戸以乘戸數為衰也合分注曰母除為率率乘子為齊反衰法曰先同其母各以分母約其子為反衰施其率為算旣約且不妨處下也計經賦之率至此多舛誤不可通 |
| 4 | 術曰以下三節分四升為下率以上四節分三升為上率謂之率者以四節三節為分母三升四升為分子母互乘子得上率九下率十六母相乘得十二 |
| 5 | 上下率以少減多餘為實十六減九餘七 |
| 6 | 置四節三節各半之以減九節餘為法實如法得一升卽衰相去也以十二通五節半得六十六為一升之率 |
《九章算術卷七 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
| 3 | 盈不足以御隱雜互見 |
| 4 | 今有共買物人出八盈三人出七不足四問人數物價各幾何 |
| 5 | 荅曰七人 |
| 6 | 物價五十三 |
| 7 | 今有共買鷄人出九盈十一人出六不足十六問人數鷄價各幾何 |
| 8 | 苔曰九人 |
| 9 | 鷄價七十 |
| 10 | 今有共買璡人出半盈四人出少半不足三問人數璡價各幾何 |
| 11 | 荅曰四十二人 |
| 12 | 璡價十七 |
| 13 | 今有共買牛七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十問家數牛價各幾何 |
| 14 | 荅曰一百二十六家 |
| 15 | 牛價三千七百五十按此術并盈不足者為衆家之差故以為實置所出率各以家數除之各得一家所出率以少減多者得一家之差以除卽家數以出率乘之減盈故得牛價也 |
| 16 | 盈不足按盈者謂之朓不足者謂之朒所出率謂之假令盈朒維乘兩設者欲為齊同之意 |
| 17 | 術曰盈不足相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率并以為實并盈不足為法據共買物人出八盈三人出七不足四齊其假令同其盈朒盈朒俱十二通計齊則不盈不朒之正數故可并以為實并盈不足為法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者是三假令亦朒十二并七假令合為一實故并三四為法有分者通之若兩設有分者齊其子同其母此問兩設俱見零分故齊其子同其母副置所出率以少減多餘以約法實實為物價法為人數令下維乘上訖以同約之不可約故以乘同之所出率以少減多者餘謂之設差以為少設則并盈朒是為定實故以少設約法則為人數約實則為物價盈朒當與少設相通不可徧約亦當分母乘設差為約法實 |
| 18 | 其一術曰并盈不足為實以所出率以少減多餘為法實如法得一人以所出率乘之減盈增不足卽物價此術意謂盈不足為衆人之差以所出率以少減多餘為一人之差以一人之差約衆人之差故得人數也 |
| 19 | 今有共買金人出四百盈三千四百人出三百盈一百問人數金價各幾何 |
| 20 | 荅曰三十三人 |
| 21 | 金價九千八百 |
| 22 | 今有共買羊人出五不足四十五人出七不足三問人數羊價各幾何 |
| 23 | 荅曰二十一人 |
| 24 | 羊價一百五十 |
| 25 | 兩盈兩不足 |
| 26 | 術曰兩盈兩不足相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率以少減多餘為實兩盈兩不足以少減多餘為法有分者通之副置所出率以少減多餘以約法實實為物價法為人數按此術兩盈者兩設皆逾於正數兩不足者兩設皆不足於正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈而或有勢同而情違者當其為實俱令不足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所以為實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆逾於正數假令與共買物人出八盈三人出九盈十齊其假令同其兩盈兩盈俱三十舉齊則兼去其餘所以為實者無盈數兩盈以少減多餘為法齊之八十者是十假令而凡盈三十是三以十齊之齊之二十七者是三假令而凡盈三十是十以三齊之兩盈共十三以三減十餘七假令為一實故令以三減十餘七為法所出率以少減多餘謂之設差因設差為少設則兩盈之差是為定實故以少設約法則為人數約實則得物價 |
| 27 | 其一術曰置所出率以少減多餘為法兩盈兩不足以少減多餘為實實如法而一得人數以所出率乘之減盈増不足卽物價置所出率以少減多得一人之差兩盈兩不足相減餘為衆人之差故以一人之差除之得人數以所出率乘之減盈增不足卽物價 |
| 28 | 今有共買豕人出一百盈一百人出九十適足問人數豕價各幾何 |
| 29 | 荅曰一十人 |
| 30 | 豕價九百 |
| 31 | 今有共買犬人出五不足九十人出五十適足問人數犬價各幾何 |
| 32 | 荅曰二人 |
| 33 | 犬價一百 |
| 34 | 盈適足不足適足 |
| 35 | 術曰以盈及不足之數為實置所出率以少減多餘為法實如法得一人其求物價者以適足乘人數得物價盈不足數為實者數單見卽衆人差故以為實所出率以少減多者餘卽一人差故以為法以除衆人差得人數以適足乘人數卽得物價也此術意謂所出率以少減多者餘是一人不足之差不足數為衆人之差以一人差約之故得人之數也 |
| 36 | 今有米在十斗桶中不知其數滿中添粟而舂之得米七斗問故米幾何 |
| 37 | 荅曰二斗五升 |
| 38 | 術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之三斗有餘二升按桶受一斛若使故米二斗須添粟八斗以滿之八斗得糲米四斗八升課於七斗是為不足二升若使故米三斗須添粟七斗以滿之七斗得糲米四斗二升課於七斗是為有餘二升以盈不足維乘假令之數者欲為齊同之意實如法卽得故米斗數乃不盈不朒之正數也今有垣高九尺瓜生其上蔓日長七寸瓠生其下蔓日長一尺問幾何日相逢瓜瓠各長幾何荅曰五日十七分日之五 |
| 39 | 瓜長三尺七寸十七分寸之一 |
| 40 | 瓠長五尺二寸十七分寸之十六 |
| 41 | 術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五寸𤬄生五日上延蔓五尺課於九尺之垣是為不足五寸令之六日有餘一尺二寸者若使瓜生六日下垂蔓四尺二寸𤬄生六日上延蔓六尺課於九尺之垣是為有餘一尺二寸以盈不足維乘假令之數者欲為齊同之意實如法而一卽設差不盈不朒之正數卽得日數以瓜瓠一日之長乘之故各得其長之數也 |
| 42 | 今有蒲生一日長三尺莞生一日長一尺蒲生日自半莞生日自倍問幾何日而長等 |
| 43 | 荅曰二日十三分日之六 |
| 44 | 各長四尺八寸十三分寸之六 |
| 45 | 術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七寸半按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日長四尺五寸莞生二日長三尺是為未相及一尺五寸故曰不足令之三日有餘一尺七寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是為過一尺七寸半故日有餘以盈不足乘除之又以後一日所長各乘日分子如日分母而一者各得日分子之長也故各增二長卽得其數 |
| 46 | 今有垣厚五尺兩鼠對穿大鼠日一尺小鼠亦日一尺大鼠日自倍小鼠日自半問幾何日相逢各穿幾何 |
| 47 | 荅曰二日十七分日之二 |
| 48 | 大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二小鼠穿一尺五寸十七分寸之五 |
| 49 | 術曰假令二日不足五寸令之三日有餘三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合尺五寸課於垣厚五尺是為不足五寸令之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七寸半并之以減垣厚五尺有餘三尺七寸半以盈不足術求之卽得以後一日所穿乘日分子如日分母而一卽各得日分子之中所穿故各増二日定穿卽合所問也今有醇酒一斗直錢五十行酒一斗直錢一十今將錢三十得酒二斗問醇行酒各得幾何 |
| 50 | 荅曰醇酒二升半 |
| 51 | 行酒一斗七升半 |
| 52 | 術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二據醇酒五升直錢二十五行酒一斗五升直錢十五課於三十是為有餘十據醇酒二升直錢一十行酒一斗八升直錢一十八課於三十是為不足二以盈不足術求之此問已有重說及其齊同之意也 |
| 53 | 今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛問大小器各容幾何 |
| 54 | 荅曰大器容二十四分斛之十三 |
| 55 | 小器二十四分斛之七 |
| 56 | 術曰假令大器五斗小器亦五斗盈十斗令之大器五斗五升小器二斗五升不足二斗按大器容五斗大器五容二斛五斗以減三斛餘五斗卽小器一所容故曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合為三斛課於兩斛乃多十斗令之大器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以減三斛餘二斗五升卽小器一所容故曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合為一斛八斗課於二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足維乘之各并為實并盈不足為法除之 |
| 57 | 今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以易油還自和餘漆問出漆得油和漆各幾何 |
| 58 | 荅曰出漆一斗一升四分升之一 |
| 59 | 得油一斗五升 |
| 60 | 和漆一斗八升四分升之三 |
| 61 | 術曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有餘二升按此術三斗之漆出九升得油一斗二升可和漆一斗五升餘有二斗一升則六升無油可和故曰不足六升令之出漆一斗二升則易得油一斗六升可和漆二斗於三斗之中已出一斗二升餘有一斗八升見在油合和得漆二斗則是有餘二升以盈不足維乘之為實并盈不足為法實如法而一得出漆升數求油及和漆者四五各為所求率四三各為所有率而今有之卽得也 |
| 62 | 今有玉方一寸重七兩石方一寸重六兩今有石立方三寸中有玉并重十一斤問玉石重各幾何 |
| 63 | 荅曰玉十四寸重六斤二兩 |
| 64 | 石十三寸重四斤十四兩 |
| 65 | 術曰假令皆玉多十三兩令之皆石不足十四兩不足為玉多為石各以一寸之重乘之得玉石之積重立方三寸是一靣之方計積二十七寸玉方一寸重七兩石方一寸重六兩是為玉石重差一兩假令皆玉合有一百八十九兩課於十一斤有餘十三兩玉重而石輕故有此多卽二十七寸之中有十三寸寸損一兩則以為石重故言多為石言多之數出於石以為玉假令皆石合有一百六十二兩課於十一斤少十四兩故曰不足此不足卽以重為輕故令減少數於石重卽二十七寸之中有十四寸寸增一兩則以為玉重也 |
| 66 | 今有善田一畝價三百惡田七畝價五百今并買一頃價錢一萬問善惡田各幾何 |
| 67 | 荅曰善田十二畝半 |
| 68 | 惡田八十七畝半 |
| 69 | 術曰假令善田二十畝惡田八十畝多一千七百一十四錢七分錢之二令之善田十畝惡田九十畝不足五百七十一錢七分錢之三按善田二十畝直錢六千惡田八十畝直錢五千七百一十四七分錢之二謂於一萬是多一千七百一十四錢七分錢之二令之善田十畝直錢三千惡田九十畝直錢六千四百二十八七分錢之四課於一萬是為不足五百七十一錢七分錢之三以盈不足術求之也 |
| 70 | 今有黃金九枚白銀十一枚稱之重適等交易其一金輕十三兩問金銀一枚各重幾何 |
| 71 | 荅曰金重二斤三兩十八銖 |
| 72 | 銀重一斤十三兩六銖 |
| 73 | 術曰假令黃金三斤白銀二斤十一分斤之五不足四十九於右行令之黃金二斤白銀一斤十一分斤之七多十五於左行以分母各乘其行內之數以盈不足維乘所出率并以為實并盈不足為法實如法得黃金重分母乘法以除得銀重約之得分也按此術假令黃金九白銀十一俱重二十七斤金九約之得三斤銀十一約之得二斤十一分斤之五各為金銀一枚重數就金重二十七斤之中減一金之重以益銀銀重二十七斤之中減一銀之重以益金則金重二十六斤十一分斤之五銀重二十七斤十一分斤之六以少減多則金輕十七兩十一分兩之五課於十三兩多四兩十一分兩之五通分內子言之是為不足四十九又令之黃金九一枚重二斤九枚重十八斤白銀十一亦合重十八斤也乃以十一除之得一枚一斤十一分斤之七為銀一枚之重數今就金重十八斤之中減一枚金以益銀復減一枚銀以益金則金重十七斤十一分斤之七銀重十八斤十一分斤之四以少減多卽金輕十一分斤之八課於十三兩少一兩十一分兩之四通分內子言之是為多十五以盈不足術求之實如法得金重分母乘法以除者謂銀兩分母同須通法而後乃除得銀重餘皆約之者術省故也 |
| 74 | 今有良馬與駑馬發長安至齊齊去長安三千里良馬初日行一百九十三里日增十三里駑馬初日行九十七里日減半里良馬先至齊復還迎駑馬問幾何日相逢及各行幾何 |
| 75 | 荅曰十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢 |
| 76 | 良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六 |
| 77 | 駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五 |
| 78 | 術曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日多一百四十里以盈不足維乘假令之數并而為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者以等數除之而命分求良馬行者十四乘益疾里數而半之加良馬初日之行里數以乘日分子如日分母而一所得及其不盡而命分加於前良馬凡行里數卽得求駑馬行者以十四乘半里以減駑馬初日之行里數餘以并初日之行又半之乘十五日得駑馬十五日之凡行又以十五日乘半里以減駑馬初日之行餘以乘日分子如日分母而一所得加前里卽駑馬定行里數其奇半里者為半法以半法增殘分卽得其不盡者而命分按令十五日不足三百三十七里半者據良馬十五日凡行四千二百六十里除先去齊三千里定還迎駑馬一千二百六十里駑馬凡十五日凡行一千四百二里半并良駑二馬所行得二千六百六十二里半課於三千里少三百三十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者據良馬十六日凡行四千六百四十八里先除去齊三千里定還迎駑馬一千六百四十八里駑馬十六日凡行一千四百九十二里并良駑二馬所行得三千一百四十里課於三千里餘有一百四十里故謂之多也以盈不足維乘假令之數并而為實并盈不足為法實如法而一得日數者卽設差不盈不朒之正數以二馬初日所行里乘十五日為十五日平行數求初末益疾減遲之數者并一與十四以十四乘而半之為中平之積又令益疾減遲里數乘之各為減益之中平里故各減益平行數得十五日定行里若求後一日以十六日之定行里數乘日分子如日分母而一各得日分子之定行里數故各并十五日定行里卽得其駑馬奇半里者法為全里之分故破半里為半法以增殘分卽合所問也 |
| 79 | 今有人持錢之蜀賈利十三初返歸一萬四千次返歸一萬三千次返歸一萬二千次返歸一萬一千後返歸一萬凡五返歸錢本利俱盡問本持錢及利各幾何 |
| 80 | 荅曰本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六 |
| 81 | 利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七 |
| 82 | 術曰假令本錢三萬不足一千七百三十八錢半令之四萬多三萬五千三百九十錢八分按假令本錢三萬并利為三萬九千除初返歸留餘加利為三萬二千五百除二返歸留餘又加利為二萬五千三百五十除第三返歸留餘又加利為一萬七千三百五十五除第四返歸留餘又加利為八千二百六十一錢半除第五返歸留合一萬錢不足一千七百三十八錢半若使本錢四萬并利為五萬二千除初返歸留餘加利為四萬九千四百除第二返歸留餘又加利為四萬七千三百二十除第三返歸留餘又加利為四萬五千九百一十六除第四返歸留餘又加利為四萬五千三百九十錢八分除第五返歸留合一萬餘三萬五千三百九十錢八分故曰多又術置後返歸一萬以十乘之十三而一卽後所持之本加一萬一千又以十乘之十三而一卽第四返之本加一萬二千又以十乘之十三而一卽第三返之本加一萬三千又以十乘之十三而一卽第二返之本加一萬四千又以十乘之十三而一卽初持之本并五返之錢以減之卽利也 |
| 83 | 《九章算術》卷七終 |
| 84 | 《九章算術》卷七訂訛 算經十書之二 |
| 85 | 休寧 戴震 東原 |
| 86 | 副置所出率以少減多餘以約法實實為物價法為人數此術前列四問本通為一徽注辭不達意據第二問人出九盈十一人出六不足十六以十六互乘九得一百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十為實所謂相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率并以為實也盈十一及不足十六并之二十七為法所謂幷盈不足為法也於出九減出六餘三以三約實二百一十得價七十以三約法二十七得九人所謂副置所出率以少減多餘以約法實實為物價法為人數也其第一問所出率相減餘一則法實無庸約故維乘并之徑得物價并盈不足徑得人數偶省一算耳第三問人出半盈四人出少半不足三半卽二分之一少半卽三分之一也又卽為二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齊其子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七為實是盈不足維乘所出率并以為實也盈四及不足三并而為七以分母相乘所得六通而齊之得四十二為法是并盈不足為法也二三相減餘一以約法實亦無庸約故徑得物價人數第四問七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百九十得一千七百一十以七家互乘二百七十得一千八百九十猶之齊其子也七家九家相乘得六十三猶之同其母也以盈三十互乘一千七百一十得五萬一千三百以不足三百三十互乘一千八百九十得六十二萬三千七百并之六十七萬五千為實是盈不足維乘所出率并以為實也盈三十及不足三百三十并而為三百六十以六十三通而齊之得二萬二千六百八十為法是并盈不足為法也於一千八百九十減一千七百一十餘一百八十以一百八十約實六十七萬五千得價三千七百五十以一百八十約法二萬二千六百八十得一百二十六家是副置所出率以少減多餘以約法實也三四兩問皆所謂有分者通之也 |
| 87 | 按此術兩盈者兩設皆逾於正數兩不足者兩設皆不足於正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈而或有勢同而情違者當其為實俱令不足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所以為實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆逾於正數以上訛舛不可通 |
| 88 | 術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之三斗有餘二升此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得故米斗數 |
| 89 | 術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得日數 |
| 90 | 術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七寸半此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者等數約之而命分以後一日所長乘日分子如日分母而一各增二長為二物共長齊等之數 |
| 91 | 術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二此下有脫文當云各以盈不足維乘之并為實并盈不足為法實如法而一得二酒之數 |
| 92 | 術曰假令一十五日不足三百三十七里半令之一十六日多一百四十里以盈不足維乘假令之數并而為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者以等數除之而命分此下有脫文當云求二馬各行里數以一十五日初末之行并而半之一十五乘之又以後一日之定行乘日分子日分母為法而一各加於前破半里為半法以入殘分 |
| 93 | 求良馬行者一十四乘益疾里數而半之加良馬初日之行里數此下有脫文當云以乘一十五日得一十五日之凡行又以一十五日乘益疾里數加良馬初日之行 |
| 94 | 北平木齋 圖書 舘臧書 |
URN: ctp:ws691879
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