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《一v1~4》[View] [Edit] [History]
Transcribed automatically with 1  | 《九章算術》 一 |
| 2 | 《九章算術》 《四部叢刊·子部》 |
| 3 | 上海𣹢芬樓景印 𢕄波榭夲。原書板 匡髙營造尺六寸 一分，寬四寸七分 |
《劉徽九章算術注原序》 | |
| 1 | 微波榭盧木齋 藏書清華 大學 圖書 館𡒉北平木齋 圖書 舘臧書 |
| 2 | 昔在包犧氏始畫八卦以通神明之德以𩔖萬物之情作九九之術以合六爻之變曁於黃帝神而化之引而伸之於是建歷紀協律呂用稽道原然後兩儀四象精微之氣可得而效焉記稱隸首作數其詳未之聞也按周公制禮而有九數九數之流則九章是矣往者暴秦焚書經術散壞自時厥後漢北平侯張蒼大司農中丞耿壽昌皆以善算命世蒼等因舊文之遺殘各稱刪補故校其目則與古或異而所論者多近語也徽幼習九章長再詳覽觀陰陽之割裂總算術之根源探𦣱之暇遂悟其意是以敢竭頑魯采其所見為之作注事類相推各有攸歸故枝條雖分而同本𠏉者知發其一端而已又所析理以辭解體用圖庶亦約而能周通而不黷覽之者思過半矣且算在六藝古者以賓興賢能教習國子雖曰九數其能窮纖入微探測無方至於以法相傳亦猶規矩度量可得而共非特難為也當今好之者寡故世雖多通才逹學而未必能綜於此耳《周官》大司徒職夏至日中立八尺之表其景尺有五寸謂之地中說云南戴日下萬五千里夫云爾者以術推之按九章立四表望遠及因木望山之術皆端旁互見無有超邈若斯之類然則蒼等為術猶未足以博盡羣數也徽㝷九數有重差之名原其指趣乃所以施於此也凡望極高測絕深而兼知其遠者必用重差句股則必以重差為率故曰重差也立兩表於洛陽之城令高八尺南北各盡平地同日度其正中之時以景差為法表高乘表閒為實實如法而一所得加表高卽日去地也以南表之景乘表閒為實實如法而一卽為從南表至南戴日下也以南戴日下及日去地為句股為之求弦卽日去人也以徑寸之筩南望日日滿筩空則定筩之長短以為股率以筩徑為句率日去人之數為大股大股之句卽日徑也雖天圓穹之象猶曰可度又况泰山之高與江海之廣哉徽以為今之史籍且畧舉天地之物考論厥數載之於志以闡世術之美輒造重差并為注解以究古人之意綴於句股之下度高者重表測深者累矩孤離者三望離而又旁求者四望觸類而長之則雖幽遐詭伏靡所不入博物君子詳而覽焉 |
《目錄》 | |
| 1 | 附 |
| 2 | 方田第一凡三十八問補圖二 粟米第二凡四十六問 衰分第三凡二十問 少廣第四凡二十四問補圖一 商功第五凡二十八問 均輸第六凡二十八問 盈不足第七凡二十問 方程第八凡十八問 句股第九凡二十四問補圖十 《音義》第十 |
《九章算術卷第一 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《方田》 | |
| 1 | 以御田疇界域 |
| 2 | 今有田廣十五步從十六步問為田幾何 |
| 3 | 荅曰一畝 |
| 4 | 又有田廣十二步從十四步問為田幾何 |
| 5 | 荅曰一百六十八步圖從十四廣十二 |
| 6 | 方田 |
| 7 | 術曰廣從步數相乘得積步此積謂田羃凡廣從相乘謂之羃臣淳風等謹按經云廣從相乘得積步注云廣從相乘謂之羃觀斯注意積羃義同以理推之固當不爾何則羃是方靣單布之名積乃衆數聚居之稱循名責實二者全殊雖欲同之竊恐不可今以凡言羃者據廣從之一方其言積者舉衆步之都數經云相乘得積步卽是都數之明文注云謂之為羃全乖積步之本意此注前云積謂田羃於理得通復云謂之為羃䌓而不當今者注釋存善去非略為科𥳑遺諸後學 |
| 8 | 以畝法二百四十步除之卽畝數百畝為一頃臣淳風等謹按此為篇端故特舉頃畝二法餘術不復言者從此可知一畝之田廣十五步從而疏之令為十五行卽每行廣一步而從十六步又横而截之令為十六行卽毎行廣一步而從十五步此卽從疏横截之步各自為方凡有二百四十步為一畝之地步數正同以此言之卽廣從相乘得積步驗矣二百四十步者畝法也百畝者頃法也故以除之卽得 |
| 9 | 今有田廣一里從一里問為田幾何 |
| 10 | 荅曰三頃七十五畝 |
| 11 | 又有田廣二里從三里問為田幾何 |
| 12 | 荅曰二十二頃五十畝 |
| 13 | 里田 |
| 14 | 術曰廣從里數相乘得積里以三百七十五乘之卽畝數按此術廣從里數相乘得積里故方里之中有三頃七十五畝故以乘之卽得畝數也 |
| 15 | 今有十八分之十二問約之得幾何 |
| 16 | 荅曰三分之二 |
| 17 | 又有九十一分之四十九問約之得幾何 |
| 18 | 荅曰十三分之七 |
| 19 | 約分按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之為數䌓則難用設有四分之二者繁而言之亦可為八分之四約而言之則二分之一也雖則異辭至於為數亦同歸爾法實相推動有參差故為術者先治諸分 |
| 20 | 術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減多更相減損求其等也以等數約之等數約之卽除也其所以相減者皆等數之重疊故以等數約之今有三分之一五分之二問合之得幾何 |
| 21 | 荅曰十五分之十一 |
| 22 | 又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何 |
| 23 | 荅曰得一六十三分之五十 |
| 24 | 又有二分之一三分之二四分之三五分之四問合之得幾何 |
| 25 | 荅曰得二六十分之四十三 |
| 26 | 合分臣淳風等謹按合分者數非一端分無定凖諸分子雜互羣母參差麄細既殊理難從一故齊其衆分同其羣母令可相并故曰合分 |
| 27 | 術曰母互乘子并以為實母相乘為法母互乘子約而言之者其分麄繁而言之者其分細雖則麄細有殊然其實一也衆分錯雜非細不㑹乗而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之齊羣母相乘謂之同同者相與通同共一母也齊者子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣分數同類者無遠數異類者無近遠而通體者雖異位而相從也近而殊形者雖同列而相違也然則齊同之術要矣錯綜度數動之則諧其猶佩觽解結無往而不理焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之綱紀乎其一術者可令母除為率率乘子為齊實如法而一不滿法者以法命之今欲求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘以等數約之卽得所謂同法為母實餘為子皆從此例其母同者直相從之 |
| 28 | 今有九分之八減其五分之一問餘幾何 |
| 29 | 荅曰四十五分之三十一 |
| 30 | 又有四分之三減其三分之一問餘幾何 |
| 31 | 荅曰十二分之五 |
| 32 | 減分臣淳風等謹按諸分子母數各不同以少減多欲知餘幾減餘為實故曰減分 |
| 33 | 術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一母互乘子者知以齊其子也以少減多者齊故可相減也母相乘為法者同其母也母同子齊故如母而一卽得 |
| 34 | 今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何 |
| 35 | 荅曰二十五分之十六多多二百分之三 |
| 36 | 又有九分之八七分之六問孰多多幾何 |
| 37 | 荅曰九分之八多多六十三分之二又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何 |
| 38 | 荅曰二十一分之八多多一千五十分之四十三 |
| 39 | 課分臣淳風等謹按分各異名理不齊一校其相多之數故曰課分也 |
| 40 | 術曰母互乘子以少減多餘為實母相乗為法實如法而一卽相多也臣淳風等謹按此術母互乘子以少分減多分多與減分義同唯相多之數意共減分有異減分知求其餘數有幾課分知以其餘數相多也 |
| 41 | 今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平 |
| 42 | 荅曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平於十二分之七 |
| 43 | 又有二分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平 |
| 44 | 荅曰減三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平於三十六分之二十三 |
| 45 | 平分臣淳風等謹按平分者諸分參差欲令齊等減彼之多增此之少故曰平分也 |
| 46 | 術曰母互乘子齊其子也副并為平實臣淳風等謹按母互乘子副并為平實者定此平實立限衆子所當損益如限為平母相乘為法母相乘為法者亦齊其子又同其母以列數乘未并者各自為列實亦以列數乘法此當副并列數為平實若 |
| 47 | 然則重有分故反以列數乘同齊臣淳風等謹按問云所平之分多少不定或三或二列位無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一凖平分不可預定多少故直云列數而已以平實減列實餘約之為所減并所減以益於少以法命平實各得其平 |
| 48 | 今有七人分八錢三分錢之一問人得幾何 |
| 49 | 荅曰人得一錢二十一分錢之四 |
| 50 | 又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四分錢之三問人得幾何 |
| 51 | 荅曰人得二錢八分錢之一 |
| 52 | 經分臣淳風等謹按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃直求一人之分以人數分所分故曰經分也 |
| 53 | 術曰以人數為法錢數為實實如法而一 |
| 54 | 有分者通之母互乘子者齊其子母相乘者同其母以母通之者分母乘全內子乘散全則為積分積分則與分子相通故可令相從凡數相與者謂之率率者自相與通有分則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分者必令兩分母相乘法實也重有分者同而通之又以法分母乘實實分母乘法此謂法實俱有分故令分母各乘全分內子又令分母互乘上下 |
| 55 | 今有田廣七分步之四從五分步之三問為田幾何 |
| 56 | 荅曰三十五分步之十二 |
| 57 | 又有田廣九分步之七從十一分步之九問為田幾何 |
| 58 | 荅曰十一分步之七 |
| 59 | 又有田廣五分步之四從九分步之五問為田幾何 |
| 60 | 荅曰九分步之四 |
| 61 | 乘分臣淳風等謹按乘分者分母相乘為法子相乘為實故曰乘分 |
| 62 | 術曰母相乘為法子相乘為實實如法而一凡實不滿法者乃有母子之名若有分以乘其實而長之則亦滿法乃為全耳又以子有所乘故母當報除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除因令分母相乘而連除也此田有廣從難以廣諭設有問者曰馬二十匹直金十二斤今賣馬二十匹三十五人分之人得幾何荅曰三十五分斤之十二其為之也當如經分術以十二斤金為實三十五人為法設更言馬五匹直金三斤今賣四匹七人分之人得幾何荅曰人得三十五分斤之十二其為之也當齊其金人之數皆合初問入於經分矣然則分子相乘為實者猶齊其金也母相乘為法者猶齊其人也同其母為二十馬無事於同但欲求齊而已又馬五匹直金三斤完全之率分而言之則為一匹直金五分斤之三七人賣四馬一人賣七分馬之四分子與人交互相生所從言之異而計數則三術同歸也 |
| 63 | 今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問為田幾何 |
| 64 | 荅曰十八步 |
| 65 | 又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問為田幾何 |
| 66 | 荅曰一百二十步九分步之五 |
| 67 | 又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步之六問為田幾何 |
| 68 | 荅曰一畝二百步十一分步之七 |
| 69 | 大廣田臣淳風等謹按大廣田者初術直有全步而無餘分次術空有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣 |
| 70 | 術曰分母各乘其全分子從之分母各乘其全分子從之者通全步內分子如此則母子皆為實矣相乘為實分母相乘為法猶乘分也實如法而一今為術廣從俱有分當各自通其分命母入者還須出之故令分母相乘為法而連除之 |
| 71 | 今有圭田廣十二步正從二十一步問為田幾何 |
| 72 | 荅曰一百二十六步 |
| 73 | 又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問為田幾何 |
| 74 | 荅曰二十三步六分步之五 |
| 75 | 術曰半廣以乘正從半廣者以盈補虚為直田也亦可半正從以乘廣按半廣乘從以取中平之數故廣從相乘為積步畝法除之卽得也 |
| 76 | 今有邪田一頭廣三十步一頭廣四十二步正從六十四步問為田幾何 |
| 77 | 荅曰九畝一百四十四步 |
| 78 | 又有邪田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十二步問為田幾何 |
| 79 | 荅曰二十三畝七十步 |
| 80 | 術曰并兩邪而半之以乘正從若廣又可半正從若廣以乘并畝法而一并而半之者以盈補虚也 |
| 81 | 今有箕田舌廣二十步踵廣五步正從三十步問為田幾何 |
| 82 | 荅曰一畝一百三十五步 |
| 83 | 又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百三十五步問為田幾何 |
| 84 | 荅曰四十六畝二百三十二步半 |
| 85 | 術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一中分箕田則為兩邪田故其術相似又可并踵舌半正從以乘之 |
| 86 | 今有圓田周三十步徑十步臣淳風等謹按術意以周三徑一為率周三十步合徑十步今依密率合徑九步十一分步之六問為田幾何 |
| 87 | 荅曰七十五步此於徽術當為田七十一步一百五十七分步之一百三臣淳風等謹依密率為田七十一步二十二分步之一十三 |
| 88 | 又有圓田周一百八十一步徑六十步三分步之一臣淳風等謹按周三徑一周一百八十一步徑六十步三分步之一依密率徑五十七步二十二分步之一十三問為田幾何 |
| 89 | 荅曰十一畝九十步十二分步之一此於徽術當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三臣淳風等謹依密率當為田十畝二百五步八十八分步之八十七 |
| 90 | 術曰半周半徑相乘得積步按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一靣與圓徑之半其數均等合徑率一而外周率三也又按為圖以六觚之一靣乘半徑二因而六之得十二觚之羃若又割之次以十二觚之一靣乘一觚之半徑四因而六之則得二十四觚之羃割之彌細所失彌少割之又割以至於不可割則與圓周合體而無所失矣觚靣之外又有餘徑以靣乘徑則羃出觚表若夫觚之細者與圓合體則表無餘徑表無餘徑則羃不外出矣以一靣乘半徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而為圓羃此以周徑謂至然之數非周三徑一之率也周三者從其六觚之環耳以推圓規多少之較乃弓之與弦也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習其謬失不有明據辯之斯難凡物類形象不圓則方方圓之率誠著於近則雖遠可知也由此言之其用博矣謹按圓驗更造密率恐空設法數昧而難譬故置諸撿括謹詳其記注焉割六觚以為十二觚術曰置圓徑二尺半之為一尺卽圓裏六觚之靣也令半徑一尺為弦半靣五寸為句為之求股以句羃二十五寸減弦羃餘七十五寸開方除之下至秒忽又一退法求其微數微數無名者以為分子以下為分母約作五分忽之二故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二以減半徑餘一寸三分三釐九毫九秒四忽五分忽之三謂之小句觚之半靣又謂之小股為之求弦其羃二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽餘分弃之開方除之卽十二觚之一靣也割十二觚以為二十四觚術曰亦令半徑為弦半靣為句為之求股置上小弦羃四而一得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄之卽句羃也以減弦羃其餘開方除之得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以減半徑餘三分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半靣又謂之小股為之求小弦其羃六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開方除之卽二十四觚之一靣也割二十四觚以為四十八觚術曰亦令半徑為弦半靣為句為之求股置上小弦羃四而一得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽餘分棄之卽句羃也以減弦羃其餘開方除之得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之半靣又謂之小股為之求小弦其羃一百七十一億一十二十七萬八千八百一十三忽餘分棄之開方除之得小弦一寸三分八毫六忽餘分棄之卽四十八觚之一靣以半徑一尺乘之又以二十四乘之得羃三萬一千三百九十三億四千四百萬忽以百億除之得羃三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四卽九十六觚之羃也割四十八觚以為九十六觚術曰亦令半徑為弦半靣為句為之求股置次上弦羃四而一得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之則句羃也以減弦羃其餘開方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以減半徑餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半靣又謂之小股為之求小弦其羃四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小弦六分五釐四毫三秒八忽餘分棄之卽九十六觚之一靣以半徑一尺乘之又以四十八乗之得羃三萬一千四百一十億二千四百萬忽以百億除之得羃三百一十四寸六百二十五分寸之六十四卽一百九十二觚之羃也以九十六觚之羃減之餘六百二十五分寸之一百五謂之差羃倍之為分寸之二百一十卽九十六觚之外弧田九十六所謂以弦乘矢之凡羃也加此羃於九十六觚之羃得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九則出於圓之表矣故還就一百九十二觚之全羃三百一十四寸以為圓羃之定率而棄其餘分以半徑一尺除圓羃倍之得六尺二寸八分卽周數令徑自乘為方羃四百寸與圓羃相折圓羃得一百五十七為率方羃得二百為率方羃二百其中容圓羃一百五十七也圓率猶為微少按弧田圖令方中容圓圓中容方內方合外方之半然則圓羃一百五十七其中容方羃一百也又令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十七徑得五十則其相與之率也周率猶為微少也晉武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛內方尺而圓其外庣旁九釐五毫羃一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗以此術求之得羃一百六十一寸有奇其數相近矣此術微少而斛差羃六百二十五分寸之一百五以十二觚之羃為率消息當取此分寸之三十六以增於一百九十二觚之羃以為圓羃三百一十四寸二十五分寸之四置徑自乘之方羃四百寸令與圓羃通相約圓羃三千九百二十七方羃得五千是為率方羃五千中容圓羃三千九百二十七圓羃三千九百二十七中容方羃二千五百也以半徑一尺除圓羃三百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八卽周數也全徑二尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九百二十七卽其相與之率若此者蓋盡其纖微矣舉而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一靣得三千七十二觚之羃而裁其微分數亦宜然重其驗耳臣淳風等謹按舊術求圓皆以周三徑一為率若用之求圓周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與此率合會耳何則假令六觚之田觚閒各一尺為靣自然從角至角其徑二尺可知此則周六徑二與周三徑一已合恐此猶以難曉今更引物為喻設令刻物作圭形者六枚枚别三靣皆長一尺攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆一尺更從觚角外畔圍繞為規則六觚之徑盡達規矣當靣徑短不至外規若以六觚言之則為周六尺徑二尺靣皆一尺靣徑股不至外畔定無二尺可知故周三徑一之率於圓周乃是徑多周少徑一周三理非精密蓋術從𥳑要舉大綱略而言之劉徽特以為疎遂乃改張其率但周徑相乘數難契合徽雖出斯一法終不能究其纖毫也祖沖之以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家考其是非冲之為密故顯之於徽術之下冀學者之所裁焉 |
| 91 | 又術曰周徑相乘四而一此周與上觚同耳周徑相乘各當以半而今周徑兩全故兩母相乘為四以報除之於徽術以五十乘周一百五十七而一卽徑也以一百五十七乘徑五十而一卽周也新術徑率猶當微少據周以求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑以求羃者皆失之於微少據周以求羃者皆失之於微多臣淳風等謹依密率以七乘周二十二而一卽徑以二十二乘徑七而一卽周依術求之卽得 |
| 92 | 又術曰徑自相乘三之四而一按圓徑自乘為外方三之四而一者是為圓居外方四分之三也若令六觚之一靣乘半徑其羃卽外方四分之一也因而三之卽亦居外方四分之三也是為圓裏十二觚之羃耳取以為圓失之於微少於徽新術當徑自乘又以一百五十七乘之二百而一臣淳風等謹按密率令徑自乘以十一乘之十四而一卽圓羃也 |
| 93 | 又術曰周自相乘十二而一六觚之周其於圓徑三與一也故六觚之周自相乘為羃若圓徑自乘者九方九方凡為十二觚者十有二故曰十二而一卽十二觚之羃也今此令周自乘非但若為圓徑自乘者九方而已然則十二而一所得又非十二觚之類也若欲以為圓羃失之於多矣以六觚之周十二而一可也於徽新術直令圓周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圓羃其率三百一十四者周自乘之羃也置周數六尺二寸八分令自乘得羃三十九萬四千三百八十四分又置圓羃三萬一千四百分皆以一千二百五十六約之得此率臣淳風等謹按方靣自乘卽得其積圓周求其羃股率乃通但此術所求用三一為率圓田正法半周及半徑以相乘今乃用全周自乘故須以十二為母何者據全周而求半周則須以二為法就全周而求半徑復假六以除之是二六相乘除周自乘之數依密率以七乘之八十八而一 |
| 94 | 今有宛田下周三十步徑十六步問為田幾何荅曰一百二十步 |
| 95 | 又有宛田下周九十九步徑五十一步問為田幾何 |
| 96 | 荅曰五畝六十二步四分步之一 |
| 97 | 術曰以徑乘周四而一此術不驗故推方錐以見其形假令方錐下方六尺高四尺四尺為股下方之半三尺為句正靣邪為弦弦五尺也令句弦相乘四因之得六十尺卽方錐四靣見者之羃若令其中容圓錐圓錐見羃與方錐見羃其率猶方羃之與圓羃也按方錐下六尺則方周二十四尺以五尺乘而 |
| 98 | 半之則亦方錐之見羃故求圓錐之數折徑以乘下周之半卽圓錐之羃也今宛田 |
| 99 | 上徑圓穹而與圓錐同術則羃失之於少矣然其術難用故略舉大較施之大廣田也求圓錐之羃猶求圓田之羃也今用兩全相乘故以四為法除之亦如圓田矣開立圓術說圓方諸率甚備可以驗此 |
| 100 | 今有弧田弦三十步矢十五步問為田幾何 |
| 101 | 荅曰一畝九十七步半 |
| 102 | 又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七問為田幾何 |
| 103 | 荅曰二畝一百五十五步八十一分步之五十六 |
| 104 | 術曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一方中之圓圓裏十二觚之羃合外方之羃四分之三也方中合外方之半則朱實合外方四分之一也弧田半圓之羃也故依半圓之體而為之術以弦乘矢而半之則為黄羃矢自乘而半之為二青羃青黃相連為弧體弧體法當應規令觚靣不至外畔失之於少矣圓田舊術以周三徑一為率俱得十二觚之羃亦失之於少也與此相似指驗半圓之弧耳若不滿半圓者益復疎闊宜依句股鋸圓材之術以弧弦為鋸道長以矢為句深而求其徑旣知圓徑則弧可割分也割之者半弧田之弦以為股其矢為句為之求弦卽小弧之弦也以半小弧之弦為句半圓徑為弧為之求股以減半徑其餘卽小弦之矢也割之又割使至極細但舉弦矢相乘之數則必近密率矣然於算數差繁必欲有所㝷究也若但度田取其大數舊術為約耳 |
| 105 | 今有環田中周九十二步外周一百二十二步徑五步此欲令與周三徑一之率相應故言徑五步也據中外周以徽術言之當徑四步一百五十七分步之一百二十二也臣淳風等謹按依密率合徑四步二十二分步之十七問為田幾何 |
| 106 | 荅曰二畝五十五步於徽術當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三臣淳風等謹依密率為田二畝三十步二十二分步之十五 |
| 107 | 又有環田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一徑十二步三分步之二此田環而不通匝故徑十二步三分步之二若據上周求徑者此徑失之於多過周三徑一之率蓋為疎矣於徽術當徑八步六百二十八分步之五十一臣淳風等謹按依周三徑一考之合徑八步二十四分步之一十一依密率合徑八步一百七十六分步之一十三問為田幾何 |
| 108 | 荅曰四畝一百五十六步四分步之一於徽術當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也依周三徑一為田三畝二十五步六十四分步之二十五臣淳風等謹按密率為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也 |
| 109 | 術曰并中外周而半之以徑乘之為積步此田截齊中外之周周則為長并而半之者亦以盈補虚也此可令中外周各自為圓田以中圓減外圓餘則環實也按此術置中外周步數於上分母子於下母乘子者為中外周俱有餘分故以互乘齊其子母相乘同其母子齊母同故通全步內分子并而半之者以盈補虚得中平之周周則為從徑則為廣故廣從相乘而得其積旣合分母還須分母出之故令周徑分母相乘而連除之卽得積步不盡以等數除之而命分以畝法除積步得畝數也 |
| 110 | 密率術曰置中外周步數分母子各居其下母互乘子分母相乘通全步內分子并而半之又可以中周減外周餘半之以益中周徑亦通分內子以乘周為實分母相乘為法除之為積步餘積步之分等數約之以畝法除之卽畝數也 |
| 111 | 《九章算術》卷一 |
《九章算術卷一訂訛補圖 算經十書之二》 | |
| 1 | 休寧 戴震 東原 |
| 2 | 臣淳風等謹按母互乘子副并為平實者定此平實立限衆子所當損益如限為平據首問第二數母三第三數母四互乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互乘第二數子二得二十四第一第二數母各三互乘第三數子三得二十七并之共六十三為平實母三三相乘又與四乘得三十六為法列數凡三卽以三乘十二得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十一為列實亦以三乘法三十六得一百八平實六十三減列實三十六少二十七減七十二餘九減八十一餘十八約之九為一則十八為二而二十七為三平實六十三為七法一百八為十二命為十二分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之二則八也四分之三則九也定平實七立限八減一九減二皆七所減之一二益於四亦七損多益少適如其限故云定此平實立限又云如限為平原本立訛作主如訛作知遂不可通 |
| 3 | 按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一面六觚原本訛作六弧考六角形其平而亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚若截圓形為六古人謂之弧背其弧卽圓周不得云圓中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不同原本觚皆訛作弧遂𫎇混不可通 |
《圓內容六觚之圖》 | |
| 1 | 圖表 |
| 2 | 六觚之一面即圓半徑 |
| 3 | 劉徽以圓田用周三徑一之率周三者從其六觚之環耳以推圓規多少之較乃弓之與弦也六觚之一面與圓徑之半其數均等叠雨圓觀之疎密顯然矣 |
| 4 | 以九十六觚之幂減之餘六百二十五分寸之以百五謂之差幂倍之為分寸之二百一十為分寸者𫎇上省文謂六百二十五分寸之二百一十也 |
| 5 | 以此術求之得幂一百六十一寸有奇其數相近矣此術微少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂為率消息當取此分寸之三十六取此分寸亦𫎇上省文謂六百二十五分寸之三十六也 |
| 6 | 臣淳風等謹按依密率以七乘周二十二而一卽徑以二十二乘徑七而一卽周依術求之卽得徑七周二十二乃祖氏之約率非密率也淳風等以為密率失其實矣徽率與祖氏之約率相較則徽率密於約率 |
《弧田圖》 | |
| 1 | 圖表 |
| 2 | ●●●● |
| 3 | 黃幂 |
| 4 | 青幂 |
| 5 | 朱實 |
| 6 | 據注意取半圓驗之黃幂令損益相補適滿大方四分之一則靑幂適八分之一也合靑黃幂為半外方四分之三朱實與黃幂相等舊以十觚之幂為圓幂又以半圓論弧矢立法之疎顯然。 |
| 7 | 微波榭 |
《九章算術卷第二 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《粟米》 | |
| 1 | 以御交質變易 |
| 2 | 粟米之法凡此諸率相與大通其特相求各如本率可約者約之别術然也 粟率五十 糲米三十 粺米二十七 糳米二十四 御米二十一 小䵂十三半 大䵂五十四 糲飯七十五 粺飯五十四 糳飯四十八 御飯四十二 菽荅麻麥各四十五 稻六十 䜴六十三 飱九十 熟菽一百三半 糵一百七十五 |
| 3 | 今有此都術也凡九數以為篇名可以廣施諸率所謂告往而知來舉一隅而三隅反者也誠能分詭數之紛雜通彼此之否塞因物成率審辨名分平其偏頗齊其參差則終無不歸於此術也 |
| 4 | 術曰以所有數乘所求率為實以所有率為法少者多之始一者數之母故為率者必等之於一據粟率五糲率三是粟五而為一糲米三而為一也欲化粟為米者糲當先本是一一者謂以五約之令五而為一也訖乃以三乘之令一而為三如是則率等於一以五為三矣然先除後乘或有餘分故術反之又究言之知粟五升為糲米三升分言之知粟一斗為糲米五分斗之三以五為母三為子以粟求糲米者以子乘其母報除也然則所求之率常為母也臣淳風等謹按宜云所求之率常為子所有之率常為母今乃云所求之率常為母知脫錯也實如法而一 |
| 5 | 今有粟一斗欲為糲米問得幾何 |
| 6 | 荅曰為糲米六升 |
| 7 | 術曰以粟求糲米三之五而一臣淳風等謹按都術以所求率乘有所數以所有率為法此術以粟求米故粟為所有數三是米率故三為所求率五是粟率故五為所有率粟率五十米率三十退位求之故唯云三五也今有粟二斗一升欲為粺米問得幾何 |
| 8 | 荅曰為粺米一斗一升五十分升之十七 |
| 9 | 術曰以粟求粺米二十七之五十而一臣淳風等謹按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也 |
| 10 | 今有粟四斗五升欲為糳米問得幾何 |
| 11 | 荅曰為糳米二斗一升五分升之三術曰以粟求糳米十二之二十五而一臣淳風等謹按糳米之率二十有四以為率太䌓故因而半之半所求之率以乘所有之數所求之率旣減半所有之率亦減半是故十二乘之二十五而一也 |
| 12 | 今有粟七斗九升欲為御米問得幾何 |
| 13 | 荅曰為御米三斗三升五十分升之九 |
| 14 | 術曰以粟求御米二十一之五十而一 |
| 15 | 今有粟一斗欲為小䵂問得幾何 |
| 16 | 荅曰為小䵂二升一十分升之七 |
| 17 | 術曰以粟求小䵂二十七之百而一臣淳風等謹按小䵂之率十三有半半者二為母以二通之得二十七為所求率又以母二通其粟率得一百為所有率凡本率有分者須卽乘除也他皆倣此 |
| 18 | 今有粟九斗八升欲為大䵂問得幾何 |
| 19 | 荅曰為大䵂一十斗五升二十五分升之二十一 |
| 20 | 術曰以粟求大䵂二十七之二十五而一臣淳風等謹按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率 |
| 21 | 今有粟二斗三升欲為糲飯問得幾何 |
| 22 | 荅曰為糲飯三斗四升半 |
| 23 | 術曰以粟求糲飯三之二而一臣淳風等謹按糲飯之率七十有五粟求糲飯合以此數乘之今以等數二十有五約其二率所求之率得三所有之率得二故以三乘二除 |
| 24 | 今有粟三斗六升欲為粺飯問得幾何 |
| 25 | 荅曰為粺飯三斗八升二十五分升之二十二 |
| 26 | 術曰以粟求粺飯二十七之二十五而一臣淳風等謹按此術與大䵂多同 |
| 27 | 今有粟八斗六升欲為糳飯問得幾何 |
| 28 | 荅曰為糳飯八斗二升二十五分升之一十四 |
| 29 | 術曰以粟求糳飯二十四之二十五而一臣淳風等謹按糳飯率四十八此亦半二率而乘除 |
| 30 | 今有粟九斗八升欲為御飯問得幾何 |
| 31 | 荅曰為御飯八斗二升二十五分升之八 |
| 32 | 術曰以粟求御飯二十一之二十五而一臣淳風等謹按此術半率亦與糳飯多同 |
| 33 | 今有粟三斗少半升欲為菽問得幾何 |
| 34 | 荅曰為菽二斗七升一十分升之三今有粟四斗一升太半升欲為荅問得幾何 |
| 35 | 荅曰為荅三斗七升半 |
| 36 | 今有粟五斗太半升欲為麻問得幾何 |
| 37 | 荅曰為麻四斗五升五分升之三 |
| 38 | 今有粟一十斗八升五分升之二欲為麥問得幾何 |
| 39 | 荅曰為麥九斗七升二十五分升之一十四 |
| 40 | 術曰以粟求菽荅麻麥皆九之十而一臣淳風等謹按四術率並四十五皆是為粟所求俱合以此率乘其本粟術欲從省先以等數五約之所求之率得九所有之率得十故九乘十除義由於此 |
| 41 | 今有粟七斗五升七分升之四欲為稻問得幾何 |
| 42 | 荅曰為稻九斗三十五分升之二十四 |
| 43 | 術曰以粟求稻六之五而一臣淳風等謹按稻率六十亦約二率而乘除 |
| 44 | 今有粟七斗八升欲為䜴問得幾何 |
| 45 | 荅曰為䜴九斗八升二十五分升之七 |
| 46 | 術曰以粟求䜴六十三之五十而一 |
| 47 | 今有粟五斗五升欲為飱問得幾何 |
| 48 | 荅曰為飱九斗九升 |
| 49 | 術曰以粟求飱九之五而一臣淳風等謹按飱率九十退位與求稻多同 |
| 50 | 今有粟四斗欲為熟菽問得幾何 |
| 51 | 荅曰為熟菽八斗二升五分升之四術曰以粟求熟菽二百七之百而一臣淳風等謹按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率旣被二乘所有之率隨而俱長故以二百七之百而一 |
| 52 | 今有粟二斗欲為糵問得幾何 |
| 53 | 荅曰為糵七斗 |
| 54 | 術曰以粟求糵七之二而一臣淳風等謹按糵率一百七十有五合以此數乘其本粟術欲從省先以等數二十五約之所求之率得七所有之率得二故七乘二除 |
| 55 | 今有糲米十五斗五升五分升之二欲為粟問得幾何 |
| 56 | 荅曰為粟二十五斗九升 |
| 57 | 術曰以糲米求粟五之三而一臣淳風等謹按上術以粟求米故粟為所有數三為所求率五為所有率今此以米求粟故米為所有數五為所求率三為所有率准都術求之各合其數以下所有反求多同皆准此 |
| 58 | 今有粺米二斗欲為粟問得幾何 |
| 59 | 荅曰為粟三斗七升二十七分升之一 |
| 60 | 術曰以粺米求粟五十之二十七而一 |
| 61 | 今有糳米三斗少半升欲為粟問得幾何 |
| 62 | 荅曰為粟六斗三升三十六分升之七 |
| 63 | 術日以糳米求粟二十五之十三而一 |
| 64 | 今有御米十四斗欲為粟問得幾何 |
| 65 | 荅曰為粟三十三斗三升少半升 |
| 66 | 術曰以御米求粟五十之二十一而一 |
| 67 | 今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲為粟問得幾何 |
| 68 | 荅曰為粟一十斗五升九分升之七術曰以稻求粟五之六而一 |
| 69 | 今有糲米一十九斗二升七分升之一欲為粺米問得幾何 |
| 70 | 荅曰為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三 |
| 71 | 術曰以糲米求粺米九之十而一臣淳風等謹按粺率二十七合以此數乘糲米術欲從省先以等數三約之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除 |
| 72 | 今有糲米六斗四升五分升之三欲為糲飯問得幾何 |
| 73 | 荅曰為糲飯一十六斗一升半 |
| 74 | 術曰以糲米求糲飯五之二而一臣淳風等謹按糲飯之率七十有五宜以本糲米乘此率術欲從省先以等數十五約之所求之率得五所有之率得二故五乘二除義由於此 |
| 75 | 今有糲飯七斗六升七分升之四欲為飱問得幾何 |
| 76 | 荅曰為飱九斗一升三十五分升之三十一 |
| 77 | 術曰以糲飯求飱六之五而一臣淳風等謹按飱率九十為糲飯所求宜以糲飯乘此率術欲從省先以等數十五約之所求之率得六所有之率得五以此故六乘五除也 |
| 78 | 今有菽一斗欲為熟菽問得幾何 |
| 79 | 荅曰為熟菽二斗三升 |
| 80 | 術曰以菽求熟菽二十三之十而一臣淳風等謹按熟菽之率一百三半因其有半各以母二通之宜以熟菽數乘此率術欲從者先以等數九約之所求之率得一十一半所有之率得五也 |
| 81 | 今有菽二斗欲為䜴問得幾何 |
| 82 | 荅曰為䜴二斗八升 |
| 83 | 術曰以菽求䜴七之五而一臣淳風等謹按䜴率六十三為菽所求宜以菽乘此率術欲從省先以等數九約之所求之率得七而所有之率得五也 |
| 84 | 今有麥八斗六升七分升之三欲為小䵂問得幾何 |
| 85 | 荅曰為小䵂二斗五升一十四分升之一十三 |
| 86 | 術曰以麥求小䵂三之十而一臣淳風等謹按小䵂之率十三半宜以母二通之以乘本麥之數術欲從省先以等數九約之所求之率得三所有之率得十也 |
| 87 | 今有麥一斗欲為大䵂問得幾何 |
| 88 | 荅曰為大䵂一斗二升 |
| 89 | 術曰以麥求大䵂六之五而一臣淳風等謹按大䵂之率五十有四合以大䵂數乘此率術欲從省先以等數九約之所求之率得六所有之率得五也 |
| 90 | 今有出錢一百六十買瓴甓十八枚瓴甓甎也問枚幾何 |
| 91 | 荅曰一枚八錢九分錢之八 |
| 92 | 今有出錢一萬三千五百買竹二千三百五十箇問箇幾何 |
| 93 | 荅曰一箇五錢四十七分錢之三十五 |
| 94 | 經率臣淳風等謹按今有之義以所求率乘所有數合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實但以一乘不長故不復乘是以徑將所買之率與所出之錢為法實也又按此今有之義出錢為所有數一枚為所求率所買為所有率而今有之卽得所求數一乘不長故不復乘是以徑將所買之率為法以所出之錢為實實如法得一枚錢不盡者等數而命分 |
| 95 | 術曰以所買率為法所出錢數為實實如法得一 |
| 96 | 今有出錢五千七百八十五買漆一斛六斗七升太半升欲斗率之問斗幾何 |
| 97 | 荅曰一斗三百四十五錢五百三分錢之一十五 |
| 98 | 今有出錢七百二十買縑一匹二丈一尺欲丈率之問丈幾何 |
| 99 | 荅曰一丈一百一十八錢六十一分錢之二 |
| 100 | 今有出錢二千三百七十買布九匹二丈七尺欲匹率之問匹幾何 |
| 101 | 荅曰一匹二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四 |
| 102 | 今有出錢一萬三千六百七十買絲一石二鈞一十七斤欲石率之問石幾何 |
| 103 | 荅曰一石八千三百二十六錢一百九十七分錢之一百七十八 |
| 104 | 經率此術猶經分臣淳風等謹按今有之義一斗為所求率出錢為所有數故以一斗乘錢數有分者通之又以分母乘之為實所買通分內子為所有率故以為法實如法而一得錢數不盡而命分者因法為母實餘為子實見不滿故以命之術曰以所求率乘錢數為實以所買率為法實如法得一 |
| 105 | 今有出錢五百七十六買竹七十八箇欲其大小率之問各幾何 |
| 106 | 荅曰 |
| 107 | 其四十八箇箇七錢 |
| 108 | 其三十箇箇八錢 |
| 109 | 今有出錢一千一百二十買絲一石二鈞十八斤欲其貴賤斤率之問各幾何 |
| 110 | 荅曰 |
| 111 | 其二鈞八斤斤五錢 |
| 112 | 其一石一十斤斤六錢 |
| 113 | 今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤石率之問各幾何 |
| 114 | 荅曰 |
| 115 | 其一鈞九兩一十二銖石八千五十一錢 |
| 116 | 其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖石八千五十二錢 |
| 117 | 今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤鈞率之問各幾何 |
| 118 | 荅曰 |
| 119 | 其七斤一十兩九銖鈞二千一十二錢 |
| 120 | 其一石二鈞二十斤八兩二十銖鈞二千一十三錢 |
| 121 | 今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤斤率之問各幾何 |
| 122 | 荅曰 |
| 123 | 其一石二鈞七斤十兩四銖斤六十七錢 |
| 124 | 其二十斤九兩一銖斤六十八錢 |
| 125 | 今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤兩率之問各幾何 |
| 126 | 荅曰 |
| 127 | 其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖兩四錢 |
| 128 | 其一鈞一十斤五兩四銖兩五錢 |
| 129 | 其率如欲令差分按出錢五百七十六買竹七十八箇以除錢得七實餘三十是為三十箇復可増一錢然則實餘之數卽是貴者之數故曰實貴也本以七十八箇為法今以貴者減之則其餘悉是賤者之數故曰法賤也其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖者謂石鈞斤兩積銖除實又以石鈞斤兩積銖除法餘各為銖卽合所問 |
| 130 | 術曰各置所買石鈞斤兩以為法以所率乘錢數為實實如法而一不滿法者反以實減法法賤實貴 |
| 131 | 今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤銖率之問各幾何 |
| 132 | 荅曰 |
| 133 | 其一鈞二十斤六兩十一銖五銖一錢 |
| 134 | 其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖六銖一錢 |
| 135 | 今有出錢六百二十買羽二千一百翭翭羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株欲其貴賤率之問各幾何 |
| 136 | 荅曰 |
| 137 | 其一千一百四十翭三翭一錢 |
| 138 | 其九百六十翭四翭一錢 |
| 139 | 今有出錢九百八十買矢簳五千八百二十枚欲其貴賤率之問各幾何 |
| 140 | 荅曰 |
| 141 | 其三百枚五枚一錢 |
| 142 | 其五千五百二十枚六枚一錢 |
| 143 | 反其率臣淳風等謹按其率者錢多物少反其率者錢少物多多少相反故曰反其率也其率者以物數為法錢數為實反之者以錢數為法物數為實不滿法知實餘也當以餘物化為錢矣法為凡錢而今以化錢減之故以實減法法少知經分之所得故曰法少實多者餘分之所益故曰實多乘實宜以多乘法宜以少故曰各以其所得多少之數乘法實卽物數其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其數餘各為銖者謂之石鈞斤兩積銖除實石鈞斤兩積銖除法餘各為銖卽合所問 |
| 144 | 術曰以錢數為法所率為實實如法而一不滿法者反以實減法法少實多二物各以所得多少之數乘法實卽物數按其率出錢六百二十買羽二千一百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭是錢有二價物有貴賤故以羽乘錢反二率也臣淳風等謹按其率者以物數為法錢為實反之者以錢數為法物為實不滿法者實餘也當以餘物化為錢矣法為凡錢而今以化錢減之故曰反以實減法也法少者知經分之所得故曰法少實多者知餘分之所益故曰實多宜以多乘法少乘實故曰各以所得多少數乘法實卽物數也 |
| 145 | 《九章算術》卷二終 |
《九章算術卷二訂訛補圖 算經十書之二》 | |
| 1 | 休寧 戴震 東原 |
| 2 | 粟率五十糲米三十粺米二十七糳米二十四御米二十一詩大雅鄭箋云米之率糲十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法粟率五十糲米三十粺二十七糳二十四御二十一言粟五升為糲米三升已下則米漸細故數益少 |
| 3 | 按其率出錢六百二十買羽二千一百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭已上舛誤不可通參考上注當云按其率錢多物少反之錢少物多出錢六百二十買羽二千一百翭當以除羽得三實餘二百四十是謂三翭復可增一翭然則實餘之數卽是多者之錢故曰實多本以六百二十錢為法今以多者減之則其餘三百八十悉是少者之錢故曰法少也二百四十錢一錢四翭乘得九百六十其三百八十錢一錢三翭乘得一千一百四十 |
《九章算術卷三 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《衰分》 | |
| 1 | 以御貴賤禀稅 |
| 2 | 衰分衰分差也 |
| 3 | 術曰各置列衰列衰相與率也重疊則可約副并為法以所分乘未并者各自為實法集而衰别數本一也今以所分乘上别以下集除之一乘一除適足相消故所分猶存且各應率而别也於今有術列衰各為所求率副并為所有率所分為所有數又以經分言之假令甲家三人乙家二人丙家一人并六人共分十二為人得二也欲復作逐家者則當列置人數以一人所得乘之今此術先乗而後除也實如法而一不滿法者以法命之 |
| 4 | 今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共獵得五鹿欲以爵次分之問各得幾何 |
| 5 | 荅曰 |
| 6 | 大夫得一鹿三分鹿之二 |
| 7 | 不更得一鹿三分鹿之一 |
| 8 | 簪褭得一鹿 |
| 9 | 上造得三分鹿之二 |
| 10 | 公士得三分鹿之一 |
| 11 | 術曰列置爵數各自為衰爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造二公士一也《墨子》號令篇以爵級為賜然則戰國之初有此名也今有術列衰各為所求率副并為所有率今有鹿數為所有數而今有之卽得副并為法以五鹿乘未并者各自為實實如法得一鹿 |
| 12 | 今有牛馬羊食人苗苗主責之粟五斗羊主日我羊食半馬馬主日我馬食半牛今欲衰償之問各出幾何 |
| 13 | 荅曰 |
| 14 | 牛主出二斗八升七分升之四 |
| 15 | 馬主出一斗四升七分升之二 |
| 16 | 羊主出七升七分升之一 |
| 17 | 術曰置牛四馬二羊一各自為列衰副并為法以五斗乘未并者各自為實實如法得一斗臣淳風等謹按此術問意羊食半馬馬食半牛是謂四羊當一牛二羊當一馬今術置羊一馬二牛四者通其率以為列衰 |
| 18 | 今有甲持錢五百六十乙持錢三百五十丙持錢一百八十凡三人俱出關關稅百錢欲以錢數多少衰出之問各幾何 |
| 19 | 荅曰 |
| 20 | 甲出五十一錢一百九分錢之四十一 |
| 21 | 乙出三十二錢一百九分錢之一十二 |
| 22 | 丙出一十六錢一百九分錢之五十六 |
| 23 | 術曰各置錢數為列衰副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一錢臣淳風等謹按此術甲乙丙持錢數以為列衰副并為所有率未并者各為所求率百錢為所有數而今有之卽得 |
| 24 | 今有女子善織日自倍五日織五尺問日織幾何 |
| 25 | 荅曰 |
| 26 | 初日織一寸三十一分寸之十九 |
| 27 | 次日織三寸三十一分寸之七 |
| 28 | 次日織六寸三十一分寸之十四 |
| 29 | 次日織一尺二寸三十一分寸之二十八 |
| 30 | 次日織二尺五寸三十一分寸之二十五 |
| 31 | 術曰置一二四八十六為列衰副并為法以五尺乘未并者各自為實實如法得一尺 |
| 32 | 今有北鄉算八千七百五十八西鄉算七千二百三十六南鄉算八千三百五十六凡三鄉發傜三百七十八人欲以算數多少衰出之問各幾何 |
| 33 | 荅曰 |
| 34 | 北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百二十七 |
| 35 | 西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四 |
| 36 | 南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十五分人之八千七百九 |
| 37 | 術曰各置算數為列衰臣淳風等謹按三鄉算數約可半者為列衰副并為法以所發傜人數乘未并者各自為實實如法得一人按此術今有之義也 |
| 38 | 今有禀粟大夫不更簪褭上造公士凡五人一十五斗今有大夫一人後來亦當禀五斗倉無粟欲以衰出之問各幾何 |
| 39 | 荅曰 |
| 40 | 大夫出一斗四分斗之一 |
| 41 | 不更出一斗 |
| 42 | 𬖂褭出四分斗之三 |
| 43 | 上造出四分斗之二 |
| 44 | 公士出四分斗之一 |
| 45 | 術曰各置所禀粟斛斗數爵次均之以為列衰副并而加後來大夫亦五斗得二十以為法以五斗乘未并者各自為實實如法得一斗禀前五人十五斗者大夫得五斗不更得四斗簪褭得三斗上造得二斗公士得一斗欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫卽與前來大夫同據前來大夫已得五斗故言亦也各以所得斗數為衰并得十五而加後來大夫亦五斗凡二十為法也是為六人共出五斗後來大夫亦俱損折今有術副并為所有率未并者各為所求率五斗為所有數而今有之卽得 |
| 46 | 今有禀粟五斛五人分之欲令三人得三二人得二問各幾何 |
| 47 | 荅曰 |
| 48 | 三人人得一斛一斗五升十三分升之五 |
| 49 | 二人人得七斗六升十三分升之十二 |
| 50 | 術曰置三人人三二人人二為列衰副并為法以五斛乘未并者各自為實實如法得一斛 |
| 51 | 返衰以爵次言之大夫五不更四欲令高爵得多者當使大夫一人受五分不更一人受四分人數為母分數為子母同則子齊齊卽衰也故上衰分宜以五四為列焉今此令高爵出少則當使大夫五人共出一人分不更四人共出一人分故謂之返衰人數不同則分數不齊當令母互乘子母互乘子則動者為不動者衰也亦可先同其母各以分母約其子為返衰副并為法以所分乘未并者各自為實實如法而一 |
| 52 | 術曰列置衰而令相乘動者為不動者衰今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共出百錢欲令高爵出少以次漸多問各幾何 |
| 53 | 荅曰 |
| 54 | 大夫出八錢一百三十七分錢之一百四 |
| 55 | 不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十 |
| 56 | 簪褭出一十四錢一百三十七分錢之八十二 |
| 57 | 上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三 |
| 58 | 公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九 |
| 59 | 術曰置爵數各自為衰而返衰之副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一錢 |
| 60 | 今有甲持粟三升乙持糲米三升丙持糲飯三升欲令合而分之問各幾何 |
| 61 | 荅曰 |
| 62 | 甲二升一十分升之七 |
| 63 | 乙四升一十分升之五 |
| 64 | 丙一升一十分升之八 |
| 65 | 術日以粟率五十糲米率三十糲飯率七十五為衰而返衰之副并為法以九升乘未并者各自為實實如法得一升按此術三人所持升數雖等論其本率精麤不同米率雖少令最得多飯率雖多返使得少故令返之使精得多而麤得少於今有術副并為所有率未并者各為所求率九升為所有數而今有之卽得 |
| 66 | 今有絲一斤價直二百四十今有錢一千三百二十八問得絲幾何 |
| 67 | 荅曰五斤八兩一十二銖五分銖之四 |
| 68 | 術曰以一斤價數為法以一斤乘今有錢數為實實如法得絲數按此術今有之義以一斤價為所有率一斤為所求率今有錢為所有數而今有之卽得 |
| 69 | 今有絲一斤價直三百四十五今有絲七兩一十二銖問得錢幾何 |
| 70 | 荅曰一百六十一錢三十二分錢之二十三 |
| 71 | 術曰以一斤銖數為法以一斤價數乘七兩一十二銖為實實如法得錢數按此術亦今有之義以絲一斤銖數為所有率價錢為所求率今有絲為所有數而今有之卽得 |
| 72 | 今有縑一丈價直一百二十八今有縑一匹九尺五寸問得錢幾何 |
| 73 | 荅曰六百三十三錢五分錢之三 |
| 74 | 術曰以一丈寸數為法以價錢數乘今有縑寸數為實實如法得錢數臣淳風等謹按此術亦今有之義以縑一丈寸數為所有率價錢為所求率今有縑寸數為所有數而今有之卽得 |
| 75 | 今有布一匹價直一百二十五今有布二丈七尺問得錢幾何 |
| 76 | 荅曰八十四錢八分錢之三 |
| 77 | 術曰以一匹尺數為法今有布尺數乘價錢為實實如法得錢數按此術亦今有之義以一匹尺數為所有率價錢為所求率今有布為所有數今有之卽得 |
| 78 | 今有素一匹一丈價直六百二十五今有錢五百問得素幾何 |
| 79 | 荅曰得素一匹 |
| 80 | 術日以價直為法以一匹一丈尺數乘今有錢數為實實如法得素數按此術亦今有之義以價錢為所有率五丈尺數為所求率今有錢為所有數今有之卽得 |
| 81 | 今有與人絲一十四斤約得縑一十斤今與人絲四十五斤八兩問得縑幾何 |
| 82 | 荅曰三十二斤八兩 |
| 83 | 術曰以一十四斤兩數為法以一十斤乘今有絲兩數為實實如法得縑數此術亦今有之義以一十四斤兩數為所有率一十斤為所求率今有絲為所有數今有之卽得 |
| 84 | 今有絲一斤耗七兩今有絲二十三斤五兩問耗幾何 |
| 85 | 荅曰一百六十三兩四銖半 |
| 86 | 術曰以一斤展十六兩為法以七兩乘今有絲兩數為實實如法得耗數按此術亦今有之義以一斤為十六兩為所有率七兩為所求率今有絲為所有數而今有之卽得 |
| 87 | 今有生絲三十斤乾之耗三斤十二兩今有乾絲一十二斤問生絲幾何 |
| 88 | 荅曰一十三斤一十一兩十銖七分銖之二 |
| 89 | 術曰置生絲兩數除耗數餘以為法餘四百二十兩卽乾絲率三十斤乘乾絲兩數為實實如法得生絲數凡所謂率者細則俱細麤則俱麤兩數相推而已故品物不同如上縑絲之比得相與乘焉三十斤凡四百八十兩今生絲率四百八十兩乾絲率四百二十兩則其數相通可俱為銖可俱為兩可俱為斤無所歸滯也若然宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數為實今斤兩錯互而亦同歸者使乾絲以兩數為率生絲以斤數為率譬之異類亦各有一定之勢臣淳風等謹按此術置生絲兩數除耗數餘卽乾絲之率於今有術為所有率三十斤為所求率乾絲兩數為所有數凡所謂率者細則俱細麤則俱麤今以斤乘兩者乾絲卽以兩數為率生絲卽以斤數為率譬之異物各有一定之率也 |
| 90 | 今有田一畝收粟六升太半升今有田一頃二十六畝一百五十九步問收粟幾何 |
| 91 | 荅曰八斛四斗四升一十二分升之五 |
| 92 | 術曰以畝二百四十步為法以六升太半升乘今有田積步為實實如法得粟數按此術亦今有之義以一畝步數為所有率六升太半升為所求率今有田積步為所有數而今有之卽得 |
| 93 | 今有取保一歲價錢二千五百今先取一千二百問當作日幾何 |
| 94 | 荅曰一百六十九日二十五分日之二十三 |
| 95 | 術曰以價錢為法以一歲三百五十四日乘先取錢數為實實如法得日數按此術亦今有之義以價為所有率一歲日數為所求率取錢為所有數而今有之卽得 |
| 96 | 今有貸人千錢月息三十今有貸人七百五十錢九日歸之問息幾何 |
| 97 | 荅曰六錢四分錢之三 |
| 98 | 術曰以月三十日乘千錢為法以三十日乘千錢為法者得三萬是為貸人錢三萬一日息三十也以息三十乘今所貸錢數又以九日乘之為實實如法得一錢以九日乘今所貸錢為今一日所有錢於今有術為所有數息三十為所求率三萬錢為所有率此又可以一月三十日約息三十錢為十分一日以乘今一日所有錢為實千錢為法為率者當等之於一也故三十日或可乘本或可約息皆所以等之也 |
| 99 | 《九章算術》卷三 |
《九章算術卷四 算經十書之二》 | |
| 1 | 魏 劉徽 注 |
| 2 | 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋 |
《少廣》 | |
| 1 | 以御積羃方圓 |
| 2 | 少廣臣淳風等謹按一畝之田廣一步長二百四十步今欲截取其從少以益其廣故曰少廣 |
| 3 | 術曰置全步及分母子以最下分母徧乘諸分子及全步臣淳風等謹按以分母乘全步者通其分也以母乘子者齊其子也各以其母除其子置之於左命通分者又以分母徧乘諸分子及已通者皆通而同之并之為法臣淳風等謹按諸子悉通故可并之為法亦不宜用合分術列數尤多若用乘則算數至䌓故别制此術從省約置所求步數以全步積分乘之為實此以田廣為法以畝積步為實法有分者當同其母齊其子以同乘法實而并齊於法今以分母乘全步及子子如母而一竝以并全法則法實俱長意亦等也故如法而一得從步數實如法而一得從步 |
| 4 | 今有田廣一步半求田一畝問從幾何 |
| 5 | 荅曰一百六十步 |
| 6 | 術曰下有半是二分之一以一為二半為一并之得三為法置田二百四十步亦以一為二乘之為實實如法得從步 |
| 7 | 今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何 |
| 8 | 荅曰一百三十步一十一分步之一十 |
| 9 | 術曰下有三分以一為六半為三三分之一為二并之得一十一為法置田二百四十步亦以一為六乘之為實實如法得從歩 |
| 10 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一求田一畝問從幾何 |
| 11 | 荅曰一百一十五步五分步之一 |
| 12 | 術曰下有四分以一為一十二半為六三分之一為四四分之一為三并之得二十五以為法置田二百四十步亦以一為一十二乘之為實實如法而一得從步 |
| 13 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一畝問從幾何 |
| 14 | 荅曰一百五步一百三十七分步之一十五 |
| 15 | 術曰下有五分以一為六十半為三十三分之一為二十四分之一為一十五五分之一為一十二并之得一百三十七以為法置田二百四十步亦以一為六十乘之為實實如法得從步 |
| 16 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一畝問從幾何 |
| 17 | 荅曰九十七步四十九分步之四十七 |
| 18 | 術曰下有六分以一為一百二十半為六十三分之一為四十四分之一為三十五分之一為二十四六分之一為二十并之得二百九十四以為法置田二百四十歩亦以一為一百二十乘之為實實如法得從步 |
| 19 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何 |
| 20 | 荅曰九十二步一百二十一分步之六十八 |
| 21 | 術曰下有七分以一為四百二十半為二百一十三分之一為一百四十四分之一為一百五五分之一為八十四六分之一為七十七分之一為六十并之得一千八十九以為法置田二百四十步亦以一為四百二十乘之為實實如法得從步 |
| 22 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問從幾何 |
| 23 | 荅曰八十八步七百六十一分步之二百三十二 |
| 24 | 術曰下有八分以一為八百四十半為四百二十三分之一為二百八十四分之一為二百一十五分之一為一百六十八六分之一為一百四十七分之一為一百二十八分之一為一百五并之得二千二百八十三以為法置田二百四十步亦以一為八百四十乘之為實實如法得從步 |
| 25 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一畝問從幾何 |
| 26 | 荅曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四 |
| 27 | 術曰下有九分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十并之得七千一百二十九以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步 |
| 28 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一畝問從幾何 |
| 29 | 荅曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九 |
| 30 | 術曰下有一十分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十十分之一為二百五十二并之得七千三百八十一以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步 |
| 31 | 今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何 |
| 32 | 荅曰七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一 |
| 33 | 術曰下有一十一分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十一十分之一為二千七百七十二一十一分之一為二千五百二十并之得八萬三千七百一十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之為實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝問從幾何 |
| 34 | 荅曰七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三 |
| 35 | 術曰下有一十二分以一為八萬三千一百六十半為四萬一千五百八十三分之一為二萬七千七百二十四分之一為二萬七百九十五分之一為一萬六千六百三十二六分之一為一萬三千八百六十七分之一為一萬一千八百八十八分之一為一萬三百九十五九分之一為九千二百四十一十分之一為八千三百一十六十一分之一為七千五百六十十二分之一為六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以為法置田二百四十步亦以一為八萬三千一百六十乘之為實實如法得從步臣淳風等謹按凡為術之意約省為善宜云下有一十二分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十十分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五百二十十二分之一為二千三百一十并之得八萬六千二十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之以為實實如法得從步其術亦得知不繁也 |
| 36 | 今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何荅曰二百三十五步 |
| 37 | 又有積二萬五千二百八十一步問為方幾何荅曰一百五十九步 |
| 38 | 又有積七萬一千八百二十四步問為方幾何荅曰二百六十八步 |
| 39 | 又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問為方幾何 |
| 40 | 荅曰七百五十一步半 |
| 41 | 又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步問為方幾何 |
| 42 | 荅曰六萬三千二十五步 |
| 43 | 開方求方羃之一面也 |
| 44 | 術曰置積為實借一算步之超一等言百之面十也言萬之面百也議所得以一乘所借一算為法而以除先得黃甲之面上下相命是自乘而除也除已倍法為定法倍之者豫張兩面朱羃定袤以待復除故曰定法其復除折法而下欲除朱羃者本當副置所得成方倍之為定法以折議乘而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折下復置借算步之如初以復議一乘之欲除朱羃之角黃乙之羃其意如初之所得也所得副以加定法以除以所得副從定法再以黄乙之面加定法者是則張兩青羃之袤復除折下如前若開之不盡者為不可開當以面命之術或有以借算加定法而命分者雖麤相近不可用也凡開積為方方之自乘當還復其積分令不加借算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其數不可得而定故惟以面命之為不失耳譬猶以三除十以其餘為三分之一而復其數可舉不以面命之加定法如前求其微數微數無名者以為分子其一退以十為母其再退以百為母退之彌下其分彌細則朱羃雖有所乘之數不足言之也若實有分者通分內子為定實乃開之訖開其母報除臣淳風等謹按分母可開者竝通之積先合二母旣開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也若母不可開者又以母再乘定實乃開之訖令如母而一臣淳風等謹按分母不可開者本一母也又以母乘之乃合二母旣開之後亦一母存焉故令如母而一得全面也又按此術開方者求方羃之一面也借一算者假借一算空有列位之名而無除積之實方隅得面是故借算列之於下也步之超一等者方十自乘其積有百方百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而言百也議所得以一乘所借一算為法而以除者先得黃甲之面以方為積者兩相乘故開方除之還令兩面上下相命是自乘而除之也除已倍法為定法者實積未盡當復更除故豫張兩面朱羃定袤以待復除故曰定除也其復除折法而下者欲除朱羃本當副置所得成方倍之為定法以折議乘之而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下也復置借算步之如初以復議一乘之所得副以加定法以除者欲除朱羃之角黃乙之羃以所得副從定法者再以黃乙之羃加定法是則張兩青羃之袤故如前開之卽合所問 |
| 45 | 今有積一千五百一十八步四分步之三問為圓周幾何 |
| 46 | 荅曰一百三十五步於徽術當周一百三十八步一十分步之一臣淳風等謹按此依密率為周一百三十八步五十分步之九 |
| 47 | 又有積三百步問為圓周幾何 |
| 48 | 荅曰六十步於徽術當周六十一步五十分步之十九臣淳風等謹按依密率為周六十一步一百分步之四十一 |
| 49 | 開圓 |
| 50 | 術曰置積步數以十二乘之以開方除之卽得周此術以周三徑一為率與舊圓田術相返覆也於徽術以三百一十四乘積如二十五而一所得開方除之卽周也開方除之卽徑是為據見羃以求周猶失之於微少其以二百乘積一百五十七而一開方除之卽徑猶失之於微多 |
| 51 | 臣淳風等謹按此注於徽術求周之法其中不用開方除之卽徑六字今本有者衍賸也依密率八十八乘之七而一按周三徑一之率假令周六徑二半周半徑相乘得羃三周六自乘得三十六俱以等數除羃得一周之數十二也其積本周自乘合以一乘之十二而一得積三也術為一乘不長故以十二而一得此積今還原置此積三以十二乘之復其本周自乘之數凡物自乘開方除之復其本數故開方除之卽周 |
| 52 | 今有積一百八十六萬八百六十七尺此尺謂立方之尺也凡物有高深而言積者曰立方問為立方幾何 |
| 53 | 荅曰一百二十三尺 |
| 54 | 今有積一千九百五十三尺八分尺之一問為立方幾何 |
| 55 | 荅曰一十二尺半 |
| 56 | 今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七問為立方幾何 |
| 57 | 荅曰三十九尺八分尺之七 |
| 58 | 又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七問為立方幾何 |
| 59 | 荅曰一百二十四尺太半尺 |
| 60 | 開立方立方適等求其一面也 |
| 61 | 術曰置積為實借一算步之超二等言千之面十言百萬之面百議所得以再乘所借一算為法而除之再乘者亦求為方羃以上議命而除之則立方等也除已三之為定法為當復除故豫張三面以定方羃為定法也復除折而下復除者三面方羃以皆自乘之數須得折議定其厚薄爾開平羃者方百之面十開立羃者方千之面十據定法已有成方之羃故復除當以千為百折下一等也以三乘所得數置中行設三亷之定長復借一算置下行欲以為隅方立方等未有定數且置一算定其位步之中超一下超二位上方法長自乘而一折中亷法但有長故降一等下隅法無面長故又降一等也復置議以一乘中為三亷備羃也再乘下令隅自乘為方羃也皆副以加定法以定法除三面三亷一隅皆已有羃以上議命之而除去三袤之厚也除已倍下并中從定法凡再以中三以下加定法者三亷各當以兩面之羃連於兩方之面一隅連於三亷之端以待復除也言不盡意解此要當以棊乃得明耳復除折下如前開之不盡者亦為不可開術亦有以定法命分者不如故羃開方以微數為分也若積有分者通分內子為定實定實乃開之訖開其母以報除臣淳風等按分母可開者竝通之積先合三母旣開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也若母不可開者又以母再乘定實乃開之訖令如母而一臣淳風等謹按分母不可開者本一母也又以母再乘之今合三母旣開之後一母猶存故令如母而一得全面也按開立方者立方適等求其一面之數也借一算步之超二等者立方求積方再自乘就積開之故超二位言千之面十言百萬之面百也議所得以再乘所借一算為法而以除者求為方羃以議命之而除則立方等也除已三之為定法者為積未盡當復更除故豫張三面已定方羃為定法也復除折而下者三面方羃皆已有自乘之數須得折議定其厚薄據開平方百之面十其開立方卽千之面十而定法已有成方之羃故復除之當以千為百折卞一等也以三乘所得數置中行者設三亷之定長也復借一算置下行者欲以為隅方立方等未有數且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一折中亷法但有長故降一等下隅法無面長故又降一等也復置議以一乘中者為三亷借羃也再乘下者當令隅自乘為方羃也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有羃以上議命之而除去三袤之厚也除已倍下併中從定法者三亷各當以兩面之羃連於兩方之面一隅連於三亷之端以待復除也其開之不盡者折下如前開方卽合所問有分者通分內子開之訖開其母以報除可開者並通之積先合三母旣開之後一母尚存故開分母者求一母為法以報除若母不可開者又以母再乘定實乃開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母再乘今合三母旣開之後亦一母尚存故令如母而一得全面也 |
| 62 | 今有積四千五百尺亦謂立方之尺也問為立圓徑幾何 |
| 63 | 荅曰二十尺依密率立圓徑二十八尺計積四千一百九十尺二十一分尺之一十 |
| 64 | 又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺問為立圓徑幾何 |
| 65 | 荅曰一萬四千三百尺依密率為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三 |
| 66 | 開立圓 |
| 67 | 術曰置積尺數以十六乘之九而一所得開立方除之卽丸徑立圓卽丸也為術者蓋依周三徑一之率令圓羃居方羃四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷為方率十二為丸率九丸居圓囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑與立方等故開立方而除得徑也然此意非也何以驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之為立方二寸規之為圓囷徑二寸高二寸又復橫規之則其形有似牟合方蓋矣八棊皆似陽馬圓然也按合蓋者方率也丸居其中卽圓率也推此言之謂夫圓囷為方率豈不闕哉以周三徑一為圓率則圓羃傷少令圓囷為方率則丸積傷多互相通補是以丸與十六之率偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之內合蓋之外雖衰殺有漸而多少不掩判合總結方圓相纒濃纖詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不闕疑以俟能言者黃金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生於此未曾驗也《周官》〈考工記〉㮚氏為量改煎金錫則不耗不耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言錬金使極精而後分之則可以為率也令丸徑自乘三而一開方除之卽丸中之立方也假令丸中立方五尺五尺為句句自乘羃二十五尺倍之得五十尺以為股羃謂平面方五尺之弦也以此弦羃為股亦以五尺為句并句股羃得七十五尺是為大弦羃開方除之則大弦可知也大弦則中立方之長邪邪卽丸徑也故中立方自乘之羃於丸徑自乘之羃三分之一也令大弦還乘其羃卽丸外立方之積也大弦羃開之不盡令其羃七十五再自乘之為面命得外立方積四十二萬一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘為面命得積一萬五千六百二十五尺之面皆以六百二十五約之外立方積六百七十五尺之面中立方積二十五尺之面也張衡算又謂立方為質立圓為渾衡言質之與中外之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質積二十六也內渾二十五之面謂積五尺也今徽令質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二渾相與之率也衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也衡又言質六十四之面渾二十五之面質復言渾謂居質八分之五也又云方八之面圓六之面圓渾相推知其復以圓囷為方率渾為圓率也失之遠矣衡說之自然欲恊其陰陽奇耦之說而不顧疎密矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十六以九乘之十六而一得積一十四尺八分之五卽質中之渾也以分母乘全內子得一百一十七又置內質積五以分母乘之得四十是為質居渾一百一十七分之四十而渾率猶為傷多也假令方二尺方四面并得八尺也謂之方周其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以乘圓周之半卽圓羃也半方以乘方周之半卽方羃也然則方周知方羃之率也圓周知圓羃之率也按如衡術方周率八之面圓周率五之面也令方周六十四尺之面卽圓周四十尺之面也又令徑一尺方周四尺自乘得十六尺之面是為圓周率十二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率為非是故更著此法然增周太多過其實矣臣淳風等謹按祖暅之謂劉徽張衡二人皆以圓囷為方率丸為圓率乃設新法祖暅之開立圓術日以二十一乘積十一而一開立方除之卽立圓徑其意何也取立方棊一枚令立樞於左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規之去其前上之亷右前之亷於是立方之棊分而為四規內棊一謂之內棊規外棊三謂之外棊規更合四棊復橫斷之以句股言之令餘高為句內棊斷上方為股本方之數其弦也句股之法以句羃減弦羃則餘為股羃若令餘高自乘減本方之羃餘卽內減棊斷上方之羃也本方之羃卽外四棊之斷上羃然則餘高自乘卽外三棊之斷上羃矣不問高卑勢皆然也然固有所歸同而塗殊者爾而乃控遠以演類借况以析㣲按陽馬方高數參等者列而立之横截去上則高自乘與斷上羃數亦等焉夫疊棊成立積緣羃勢旣同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙為一卽一陽馬也三分立方則陽馬居一內棊居二可知矣合八小方成一大方合八內棊成一合蓋內棊居小方三分之二則合蓋居立方亦三分之二較然驗矣置三分之二以圓羃率三乘之如方羃率四而一約而定之以為丸率故曰丸居立方三分之一也等數旣密心亦昭晰張衡放舊貽哂於後劉徽循故未暇校新夫豈難哉抑未之思也依密率立此圓積本以圓徑再自乘十一乘之二十一而一約此積今欲求其本積故以二十一乘之十一而一凡物再自乘開立方除之復其本數故立方除之卽丸徑也 |
| 68 | 《九章算術》卷四 |
《九章算術卷四訂訛補圖 算經十書之二》 | |
| 1 | 休寧 戴震 東原 |
《開方圖》 | |
| 1 | 圖表 |
| 2 | 方黃甲幂 |
| 3 | 廉朱幂 |
| 4 | 隅黃乙幂 |
| 5 | 廉靑幂 |
| 6 | 注內稱黃甲幂者卽初商所除方幂稱黃乙幂兩朱幂者卽次商所除隅幂及兩廉幂稱兩靑幂者卽三商所除兩廉幂凡次商以下皆有隅有兩廉。 |
| 7 | 微波榭 |
| 8 | 祖暅之開立圓術曰以二十一乘積十一而一開立方除之卽立圓徑其意何也取立方棊一枚令立樞於左後之下隅從規去其右上之廉又合而橫規之去其前上之廉右前之廉於是立方之棊分而為四規內棊一謂之內棊規外棊三謂之外棊更合四棊復横斷之以句股言之令餘高為句內棊斷上方為股本方之數其弦也句股之法以句幂減弦幂則餘為股幂若令餘高自乘減本方之幂餘卽內減棊斷上方之幂也本方之幂卽外四棊之斷上幂然則餘高自乘卽外三棊之斷上幂矣不問高卑勢皆然也以上借立方棊以論立圓而所言僅及句股弦與平幂不足見圓術當有脫誤 |
| 9 | 故曰丸居立方三分之一也此句舛誤據上言置三分之二以三乘之如四而一乃丸居立方二分之一非三分之一况以上眀祖氏圓術其率乃丸居立方二十一分之十一下云圓徑再自乘十一乘之如二十一而一是也若二分之一於祖氏術不恊矣又祖氏方幂率十四圓幂率十一亦不得用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏說自祖暅之開立方圓術曰至此似因傳寫旣訛後人妄加竄改遂不可通今考立方與圓囷猶之平方與平圓也其率亦方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二與十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子乘分子得二十二是為九居立方四十二分之二十二卽二十一分之十一也祖氏求圓囷立圓平圖三法本條貫為一 |
| 10 | 北平木齋 圖書 舘臧書 |
URN: ctp:ws809470
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