1  | 欽定四庫全書 |
| 2 | 皇朝《文獻通考》卷二百五十七《象緯考》 |
| 3 | 兩儀七政，恒星總論。 |
| 4 | 等謹按前史，志天文者，大抵詳於七政恒星，而於兩儀則紀其變，而弗紀其常我。 |
| 5 | 朝作《明史天文志》，以常象雖無古今之異，而言天者後勝於前。宜標其指要，以為綱領。爰先兩儀，次七政，恒星伏。惟 |
| 6 | 聖祖仁皇帝著《厯象考成》一書，綜前古周髀、宣夜渾天諸家之同異，而折衷一是我。 |
| 7 | 皇上復以近時實測之數，剖析源流，著為《後編》，蓋皆循蜚疏仡以來，三極彛訓之所未有也。兹敬録、總論》諸篇，彚為一卷，以識推步測驗者之所據依焉。御製《厯象考》成，上編論天象。 |
| 8 | 虞書堯典曰：欽若昊天厯象，日月星辰」。楚詞天問曰：圜則九重，孰營度之？後世厯家謂天有十二重，非天實有如許重數，蓋言日月星辰轉運於天，各有所行之道，即楚詞所謂圜也。欲明諸圜之理，必詳諸圜之動欲，考諸圜之動，必以至靜不動者凖之，然後得其盈縮，蓋天道靜專者也，天行動直者也。至靜者自有一天與地相為表裏，故羣動者運於其間而不息，若無至靜者以驗至動，則聖人亦無所成其能矣。人恒在地面測天，而七政之行無不可得者，正為以靜驗動故也。十二重天最外者為至靜不動，次為宗動，南北極赤道所由分也。次為南北歲差，次為東西歲差，此二重天其動甚㣲，厯家姑置之而不論焉。次為三垣二十八宿經星行焉。次為填星所行，次為歲星所行。次為熒惑所行，次則太陽所行黃道是也。次為太白所行，次為星辰所行。最內者則太隂所行，白道是也。要以去地之逺近而為諸天之內外，然所以知去地之逺近者，則又從諸曜之掩食及行度之遲疾而得之。蓋凡為所掩食者必在上而掩之，食之者必在下，月體能蔽日光而日為之食，是日逺月近之徴也。月能掩食五星，而月與五星又能掩食恒星，是五星髙於月而卑於恒星也，五星又能互相掩食，是五星各有逺近也。又宗動天，以渾灝之氣挈諸天左旋，其行甚速，故近宗動天者，左旋速而右移之度遲漸逺宗動天則左旋較遲而右移之度轉速。今右移之度，惟恒星最遲，土木次之，火又次之，日金水較速而月最速，是又以次而近之證也。是故恒星與宗動相較，而歲差生焉。太陽與恒星相㑹而歲實生焉，黃道與赤道出入而節氣生焉，太陽與太隂循環，而朔望盈虛生焉，黃道與白道交錯而薄蝕生焉。五星與太陽離合，而遲疾順逆生焉，地心與諸圜之心不同而盈縮生焉。厯代專家，多方測量，立法布算，積乆愈詳，已得其大體。其間或有毫芒之差，諸說不無同異者，蓋因儀器仰測穹蒼，失之纎微，年乆則著，雖有聖人，莫能預定，惟立窮源竟委之法，隨時實測，取其精密附近之數，折中用之，每數十年而一修正，斯為治厯之通術，而古聖欽若之道，庻可復於今日矣。 |
| 9 | 御製厯象考成。上編論地體，欲明天道之流行，先達地球之圓體。日月星辰，每日出入地平一次，而天下大地必非同時出入，居東方者先見，居西方者後見，東西相去萬八千里。則東方人見日為午正者，西方人見日為卯正也。周天三百六十度，每度當地上二百里，是故推驗大地經緯度分，皆與天應測緯度者，用午正日晷或測南北二極測經度，則必於月蝕取之。蓋月蝕與日蝕異日之食限分數隨地不同，月之食限分數天下皆同。但入限有晝夜，人有見不見耳。此處食甚於子者，處其東三十度，必食甚於丑處，其西三十度必食甚於亥，是故相去九十度，則此見食於子，而彼見食於酉，相去百八十度，則此見食於子而彼當食於午，雖食而不可見矣。 |
| 10 | 御製厯象考成，上編論黃道赤道天包地外圜轉不息，南北兩極，為運行之樞紐，地居天中，體圓而靜，人環地面以居，隨其所至，適見天體之半，中華之地面近北，故北極常見南極常隱平分兩極之中，橫帶天腰者，為赤道赤道距天頂之度，即北極出地之度也。赤道以北為內為隂，以南為外、為陽斜，交赤道而半出其南，半出其北者為黃道，乃太陽一歲所躔之軌迹也。黃赤道相交之兩界為春秋分，距赤道南二十三度半為冬至，距赤道北二十三度半為夏至七政所行之道紛然不齊，惟恃黃赤二道以為推測之本。蓋太陽循黃道東行而出入於赤道之南北太隂，與五星各循本道東行，而又出入於黃道之南北，故黃赤二道之位定，則晝夜永短、寒暑進退以及晦、朔、弦、望、薄蝕，朏朒皆從此可稽矣。 |
| 11 | 御製厯象考成上編論經緯度，恒星七政各有經緯度，蓋天周弧線縱橫交加，即如布帛之經緯，然故以東西為經，南北為緯。然有在天之經緯，有隨地之經緯，在天則為赤道為黃道，隨地則為地平赤道均分，三百六十度平分之為半周，各一百八十度四分之為象限，各九十度六分之為紀限，各六十度十二分之為宫，為時各三十度，是為赤經。從經度出弧線，與赤道十字相交，各引長之㑹，於南北極皆成全圜，亦分為三百六十度，兩極相距各一百八十度，兩極距赤道俱九十度，是為赤緯依緯度作圜與赤道平行名距等圈，此圈大小不一，距赤道近則大，距赤道逺則小，其度亦三百六十，俱與赤道之度相應也。赤道之用，有動有靜，動者，隨天左旋與黃道相交，日躔之南北，於是乎限。靜者太虛之位，亘古不移，晝夜之時刻於是乎紀焉。黃道之宫度並如赤道，其與赤道相交之兩㸃為春秋分相距，皆半周平分。兩交之中為冬夏至，距兩交各一象限，六分象限為節氣各十五度，是為黃經從經度出弧線，與黃道十字相交。各引長之周於天體即成全圜。其各圜相凑之處，不在赤道之南北，兩極而別有其樞心，是為黃極黃極之距，赤極即兩道相距之度，其距黃道亦皆九十度，是為黃緯，而月與五星出入黃道之南北者，悉於是而辨焉。故凡南北圈過赤道，極者必與赤道成直角而不能與黃道成直角，其過黃道極者，亦必與黃道成直角，而不能與赤道成。直角惟過黃赤兩極之圈，其過黃赤道也，必當冬夏二至之度，所以並成直角，名為極至交圈。又若赤道度為主，而以黃道度凖之，則互形大小，何也？渾圓之體，當腰之度最寛，漸近兩端則漸狹，二至時黃道，以腰度當赤道距等圈之度，故黃道一度當赤道一度有餘，二分時兩道雖皆腰度，然赤道平而黃道斜，故黃道一度當赤道一度不足也。此所謂同升之差，而七政升降之斜正，伏見之先後，皆由是而推焉。至於地平經緯，則以各人所居之天頂為極。蓋人所居之地不同，故天頂各異而經緯從而變也。地在天中，體圓而小，隨人所立，凡目力所極，適得大圓之一半，則地雖圓而與平體無異，故謂之地平，乃諸曜出沒之界，晝夜晦明之交也。地平亦分三百六十度四分之為四方，各相距九十度二十四分之為二十四向，各十五度，是為地平經。從經度出弧線上，㑹於天頂，並皆九十度。是為地平緯。又名高弧高弧，從地平正午上㑹天頂者。其全圈必過赤道南北兩極，名為子午圈，乃諸曜出入地平適中之界，而北極之高下，晷影之長短，中星之推移，皆由是而測焉。是故經緯相求，黃赤互變，因黃赤而求地平，或因地平而求黃赤，乃厯象之要務，推測之所取凖也。 |
| 12 | 御製厯象考成上編論七政宿度。 |
| 13 | 日月五星皆有宿度。古以十二宮定於二十八宿，故宿度逐歲不同者，經度亦因而不同。今以二十八宿厯於十二宮，故宿度逐歲有差，而經度終古不變。其法以歲差五十一秒按歲積之，與各宿第一星黃道經度相加，為本年黃道宿鈐。乃於七政黃道經度內減去相當黄道宿度，餘即七政黃道宿度。蓋七政恒星皆宗黃道，故宿度亦以黃道推也。至於日月交食，則并用赤道宿因，其關於天行最著，故於推算獨詳。然各宿赤道經緯度逐歲不同，須按推恒星赤道經度法，求得本年各宿第一星赤道經度，為本年赤道宿鈐，乃於太陽太隂赤道經度內減去相當赤道宿度，餘即太陽太隂赤道宿度，御製厯象考成。上編論北極高度。 |
| 14 | 北極為天之樞紐，居其所而不移，其出地有高下者，因人所居之地，南北之不同也。是故寒暑之進退，晝夜之永短，因之而各異焉。蓋厯法以日躔出入赤道之度，定諸節氣，而北極出地之度，即赤道距天頂之度。倘推測不精，高度差至一分，則春秋分必差一時，而冬夏至必差一二日。日躔既差，則月離五星之經緯，無不謬矣。故測北極，出地之高下，最宜精密，不容或略也。 |
| 15 | 御製厯象考成，上編論地半徑差。 |
| 16 | 凡求七曜出地之高度，必用測量，乃測量所得之數與推步所得之數，往往不合。蓋推步所得者，七曜距地心之高度，而測量所得者，七曜距地面之高度也。距地心之高度為真高距，地面之高度為視高，人在地面不在地心，故視高必小於真高以有地半徑之差也。蓋七曜恒星雖皆麗於天，而其高下又各不等，惟恒星天為最高，其距地最逺地，半徑甚㣲，故無視高真高之差。若夫七曜諸天，則皆有地半徑差。 |
| 17 | 御製厯象考成，上編論地影半徑。 |
| 18 | 太陽照地而生，地影太隂，遇影而生薄蝕，凡食分之淺深，食時之乆暫，皆視地影半徑之大小，其所係固非輕也，但地影半徑之大小，隨時變易，其故有二：一縁太陽距地有逺近，距地逺者，影巨而長，距地近者影細而短，此由太陽而變易者也。一縁地影為尖圓，體近地麤而逺地細，太隂行最卑，距地近則過影之，麤處，其徑大行最高，距地逺則過影之細處其徑小，此由太隂而變易者也。 |
| 19 | 御製厯象考成，上編論日月實徑與地徑日最大地次之，月最小。新法厯書載日徑為地徑之五倍有餘，月徑為地徑之百分之二十七強。今依其法，用日月高卑兩限各數推之，所得實徑之數，日徑為地徑之五倍。又百分之七，月徑為地徑之百分之二十七弱，皆與舊數大制相符足徴，其說之有據而非誣也。御製厯象考成上編論清䝉氣差。 |
| 20 | 清䝉氣差，從古未聞，明萬厯間，西人第谷始發之，其言曰：清蒙氣者，地中遊氣，時時上騰，其質輕微，不能隔礙人目，卻能映小為大，升卑為高，故日月在地平上，比於中天，則大星座在地平上，比於中天，則廣此映小為大也。定望時地在日月之間，人在地面，無兩見之理，而恒得兩見，或日未西沒而已。見月食於東，日已東出，而尚見月食於西，此升卑為高也。又曰：「清䝉之氣，有厚薄、有高下，氣盛則厚而高，氣微則薄而下而升，像之高下亦因之而殊。其所以有厚薄有高下者，地勢殊也。若海或江湖，水氣多，則清蒙氣必厚且高也。故欲定七政之緯，宜先定本地之清。䝉差第谷言，其國北極出地五十五度，有竒，測得地平上最大之差三十四分，自地平以上，其差漸少至四十五度，其差五秒更高，則無差矣。此即新法厯書所用之表也。近日西人又言，於北極出地四十八度之地，測得太陽高四十五度，時䝉氣差尚有一分餘，自地平至天頂，皆有蒙氣差。即此觀之，益見䝉氣差之隨地不同，而第谷之言為不妄矣。 |
| 21 | 御製《厯象考》成，上編論曚影刻分曚影者，古所謂晨昏分也。太陽未出之先，已入之後，距地平一十八度皆有光，故以一十八度為曚影限。然北極出地有高下，太陽距赤道有南北，故曚影刻分隨時隨地不同。其隨時不同者，二分之刻分少，二至之刻分多也。隨地不同者，愈北則刻分愈多，愈南則刻分愈少也。若夫北極出地五十度，則夏至之夜半猶有光，愈高則漸不夜矣。南至赤道下，則二分之刻分極少，而二至之刻分相等，赤道以南反是。 |
| 22 | 御製厯象考成，上編論時差。時差者，平時與用時相較之時分也，推步所得者為平時，測量，所得者為用時二者常不相合，其故有二：一因太陽之實行而時刻為之進退，蓋以高卑為加減之限也。一因赤道之升度而時刻為之消長，蓋以分至為加減之限也。新法厯書合二者以立表，名曰日差。然高卑每年有行分，則宮度引數必不能相同。若合立一表，歲乆即不可用。今仍分作二表，加減兩次，庻於法為密也。 |
| 23 | 御製厯象考成，上編論歲差歲差者，太陽每歲與恒星相距之分也。如今年冬至太陽躔某宿度，至明年冬至時，不能復躔原宿度，而有不及之分。但其差甚微，古人初未之覺。至晉虞喜始知之，因立歲差法，厯代治厯者宗焉，而所定之數，各家不同。喜以五十年差一度，劉宋何承天以百年差一度。祖冲之以四十五年差一度，隋劉焯以七十五年差一度，唐傅仁均以五十五年差一度。僧一行以八十二年差一度。惟宋楊忠輔以六十七年差一度，以周天三百六十度，每度六十分，每分六十秒約之，得每年差五十二秒半元。郭守敬因之，較諸家為密。今新法實測晷影，驗之中星，得七十年有餘而差一度，每年差五十一秒。此所差之數，在古法為冬至西移之度，新法為恒星東行之度徴之。天象恒星，原有動移，則新法之理長也。 |
| 24 | 御製厯象考成上編論厯元。 |
| 25 | 治厯者必有起算之端，是謂厯元，其法有二：一則逺溯古初冬至七曜齊元之日為元，自漢太初以來諸厯所用之積年是也。一則截算為元，若元授時厯以至元辛巳天正冬至為元，今時憲厯以崇禎元年戊辰天正冬至為元是也。二者雖同為起算之端，然積年實不如截算之簡易也。夫所謂七曜齊元者，乃溯上古冬至之時，歲月日時皆㑹甲子，日月如合璧，五星如聯珠，是以為造厯之元，使果有此，雖萬世遵用可矣，而廿一史所載諸家厯元無一同者，是其所用，積年之乆，近皆非有所承受，但以巧算取之而已，當其立法之初，亦必有所驗於近測，遂援之以立術，於是溯而上之，至於數千萬年之逺，庻幾各曜之躔次，可以齊同，然既欲其上合厯元，又欲其不違近測竒零分秒之數，决不能齊，勢不能不稍為遷就以求其巧，合其始也，據近測以求積年，其既也，且將因積年而改近測矣。杜預云：治厯者，當順天以求合，不當為合以驗天積年之法，是為合以騐天也，安得為立法之盡善乎？若夫截算之法，不用積年虛率，而一以實測為憑，誠為順天求合之道，治厯者所當取法也。 |
| 26 | 御製厯象考成，上編論太陽行度太陽行天每歲一周萬，古不忒，宜其每日平行，而無有盈縮乃徴之實測則春分。至秋分行天半周而厯日多，秋分至春分行天半周而厯日少，其在本天所行之度，原均而人居地上，所見時日不同。今即其不平行之數，求其所以然之故，則惟有本天高卑之說能盡之本天高卑之法有二：一為不同心天。蓋天包地外以地為心，太陽本天亦包乎地外，而不以地為心。因其有兩心之差而高卑判焉。自春分厯夏至以至秋分，太陽行本天之大半周，故厯日多而自地心立算，止行黃道之半周，故為行縮。自秋分厯冬至以至春分，太陽行本天之小半周，故厯日少而自地心立算，亦行黃道之半周，故為行盈。夫日在本天，原自平行，因自地心立算，而不以太陽本天心立算，遂有高卑盈縮之異。故高卑為盈縮之原，而兩心之差又高卑之所由生也。一為本輪，蓋本天與地同心，而本天之周又有一本輪本。輪心循本天周向東而行，日在本輪之周，向西而行，兩行之度相等，太陽在本輪之下半周，去地近為卑，則順輪心行，故見其速於平行在本輪之上半周，去地逺為高，則背輪心行，故見其遲於半行在本輪之左右，去地不逺，不近為高卑適中，故名中距其行與半行等本輪循本天東行為平行度。太陽循本輪西行，由下而左而上而右而復於下為自行度。如太陽在本輪之下，去地心最近，是為最卑。太陽在本輪之上，去地心最逺，是為最高最高最卑之㸃，皆對本輪心與地心成一直線，其平行實行同度，故為盈縮起算之端。如太陽由本輪下向左順輪心行，能益東行之度，故較平行度為盈至半象，限後所益漸少。迨輪心行一象限，太陽亦行輪周，一象限即無所益，而復於平行是為中距。然而積盈之多正在中距，蓋從地心立算為盈差之極大也。從中距而後，太陽行本輪之上半周背輪心行，故實行漸縮。然因有積盈之度方，以次漸消其實行，仍在平行前迨行滿一象限至最高為極縮，而積盈之度始消盡無餘，其實行與平行乃合為一線，故自最卑至最高半周俱為盈也。如太陽由本輪上向右背輪心行能損東行之度，故較平行度為縮至半，象限後所損漸少。迨輪心行一象限，太陽亦行輪周一象限即無所損，而復於平行是為中距。然而積縮之多亦在中距，蓋從地心立算，為縮差之極大也。從中距而後，太陽行本輪之下半周順輪心行，故實行漸盈。然因有積縮之度方，以次相補，其實行仍在平行後。迨行滿一象限至最卑為極盈，而積縮之度始補足無缺，其實行與平行乃合為一線，故自最高至最卑半周俱為縮也。求得兩心之差，而本輪之徑自見明於本輪之故，而盈縮之理益彰，其理相通，其用相輔，可以參稽而互證也。 |
| 27 | 御製厯象考成，上編論太隂行度太隂行度有九，而隨天西轉之，行不與焉。一曰平行，蓋太隂之本，天帶一本，輪本輪心循本天，自西而東，每日平行一十三度有竒，二十七日有餘而行天一周，即白道經度也。二曰自行，蓋本輪心循白道行，自西而東太隂復依本輪周行，自東而西，每日亦行一十三度，有竒微不及本輪心行而與本輪心之行，順逆參錯，人目視之，遂生遲疾，故名自行以別之授時厯名為轉周，滿一周為轉終，其所生之遲疾差名為初均數也。三曰均輪行西人第谷言用一本輪以齊太隂之行，往往與實測未合，因將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑，用其一分為均輪半徑，均輪循本輪周行自東而西太隂復依均輪周行，自西而東，每日行二十六度有竒為輪心行之倍度。其所生之遲疾差，即今所用之初均數也。四曰次輪行，蓋用本輪均輪推得遲疾之最大差為四度，有竒於朔望時測之，其數恰合而於上下弦時測之則不合。其大差至七度有竒，故又於均輪之周復設一輪，循均輪周行命為次，輪次輪心自西而東，太隂復依次輪周，亦自西而東，每日行二十四度有竒為本輪心距太陽行之倍度，名為倍離倍離所生之遲疾，差名為次均數也。五曰次均輪行，蓋有初均，次均以步朔望以定兩弦，則既合矣。而於兩弦前後測之，又多不合。爰思次輪之上，必更有一輪以消息乎？次均之數，今命之曰次均輪，其心循次輪周，自西而東，行倍離之度而太隂，則循此輪之周，自東而西，亦行倍離之度，用其所生之差，以加減次均數，即與太、隂、兩弦前後所行恰合也。六曰交行，蓋太隂行白道出入於黃道之內，外大距五度有竒，其自黃道南過黃道北之㸃名曰正交自黃道北過黃道南之㸃，名曰中交。每交之中，不能復依原次而不及一度有餘，逐日計之，退行三分有餘，命為兩交左旋之度亦名羅計行度也。，七曰最高。行最高者，本輪之上半最逺地心之處，而最高行者，平行與自行相較之分也。均輪心從最高左旋微，不及於平行，每日六分有竒，即命為最高左旋之度，亦名月孛行度也。八曰距日行於每日平行度內，減去太陽之行，為每日太隂，距太陽行二十九日有竒而復與日㑹，是為朔䇿。九曰距交行，以每日平行度與每日交行相加，得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周，名為交周也。 |
| 28 | 太隂行度，用四輪推之，而四輪之法皆係實測而得，非意設也。西人第谷以前，步月離惟用本輪次輪，蓋因朔望之行有遲疾，故知其有本輪，而兩弦之行不同於朔望，故知其有次輪。其法次輪與本輪兩周相切，太隂行於次輪之上，朔望時太隂正當兩周相切之㸃，故云朔望時太隂循本輪周行，而兩弦時太隂，則從兩周相切之㸃行。次輪半周距本輪心最逺，故次輪全徑為兩弦時。大於朔望時平行實行之極大差，第谷遵其法用之，因不能密合太隂之行，故於本輪上復加一均輪。且因兩弦前後之行又不同於兩弦，故又加一次均輪，蓋用本輪推朔望時平行實行之極，大差為本輪半徑，得四度五十八分有餘而徴之實測。惟自行三宮九宮初度之一㸃為合，在最高前後兩象限則失之，小在最卑前後兩象限則失之大，故第谷將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑，取其一分為均輪半徑，用求平行實行之差為初均數。乃密合於天，至於兩弦時平行實行之極大差七度二十五分有餘，雖為新本輪半徑併均輪半徑，仍加次輪全徑之數，然即舊本輪半徑與次輪全徑相併之數也。其次均輪行於次輪，即如初均輪之行，於本輪但所行之度不同耳。要之，本輪者推本天之高卑，均輪者所以消息本輪之行度。次輪者，定朔望兩弦之逺，近次均輪者，又所以分別朔望兩弦前後之加減，故本輪行度合初均輪之倍引，而生初均數分高卑左右而為朔望之加減差也。次輪行度合次均輪之倍離，而生二三均數分逺近上下，而為兩弦及兩弦前後之加減差也。是故非驗諸實測，無以知四輪之妙而明於四輪之用，則於太隂遲疾之故思過半矣。 |
| 29 | 御製厯象考成上編論朔望有平實之殊，日月相㑹為朔，相對為望，而朔望又有平實之殊，平朔望者，日月之平行度相㑹相對也。實朔望者，日月之實，行度相㑹相對也。故平朔望與實朔望相距之時刻，以兩實行相距之度為凖。蓋兩實行相距之度，以兩均數相加減而得，而兩朔望相距之時刻，則以兩實行相距之度變為時刻，以加減平朔望，而得實朔望，故兩實行相距無定度，則兩朔望相距亦無定時也。 |
| 30 | 御製厯象考成，上編論晦、朔、弦、望。 |
| 31 | 太隂之晦朔弦望，雖無關於自行之遲疾，而自行之遲疾，實由於朔望兩弦而得知，其二十七日，有竒而一周者，太隂之自行也，其二十九日半強而與太陽相㑹者，朔䇿也，其間猶有望與上下兩弦之分焉，蓋太隂之體，賴太陽而生光，其向太陽之面恒明，背太陽之面恒晦，而其行則甚，速於太陽，當其與太陽相㑹之時，人在地上，正見其背，故謂之朔。朔後漸逺太陽，人可漸見其面，其光漸長，至距朔七日有竒，其距太陽九十度人，可見其半面，太陽在後，太隂在前，其光向西，其魄向東，故名上弦上弦以後距太陽愈逺，其光漸滿至一百八十度，正與太陽相望，人居其間，正見其面，故謂之望。自望以後，又漸近太陽，人不能正見其面，其光漸虧其魄，漸生至距，望七日有竒，其距太陽亦九十度，則又止見其半面，太陽在前，太隂在後，其光向東，其魄向西，故名下弦。下弦以後距太陽愈近，其光漸消，至復與太陽相㑹，其光全晦復為朔矣。 |
| 32 | 御製厯象考成，上編論太隂隱見遲疾，合朔之後，恒以三日月見於西方，故尚書註月之三日為哉生明，然有朔後二日即見者，更有晦日之晨，月見東方，朔日之夕，月見西方者。唐厯家遂為進朔之法，致日食乃在晦。宋、元史已辨其非而未明其故。蓋月之隱見遲疾，固有一定之理，可按數而推，殆因乎天行，由於地度無庸轉移遷就也。至於漢、魏厯家，未明盈縮遲疾之差，以平朔著厯，故有晦而月見西方朔而月見東方者，此則推步之疎，不可以隱見遲疾論也。隱見之遲疾，一因黃赤道之升降有斜正也。蓋春分前後各三宮，黃道斜升而正降月，離此六宮，則朔後疾，見秋分前後各三宮。黃道正升而斜降月離，此六宮則朔後遲見。如日躔降婁初度月離降婁一十五度為正降。日入時，月在地平上高一十四度餘，即可見，蓋入地遲而見早也。日躔壽星，初度，月離壽星一十五度為斜降。日入時，月在地平上高六度餘，即不可見，蓋入地疾而見遲也。若晦前月離正升六宫，則隱遲斜升，六宮則隱早，其理亦同。一因月距黃緯有南北也。蓋月距黃道北則朔後見早，距黃道南則朔後見遲。如日躔降婁初度，月離降婁一十五度。而月距黃道北，則月距地平之度多入地遲而見早。月距黃道南則月距地平之度少入地疾而見遲也。若晦前距黃道北則隱遲，距黃道南則隱早，其理亦同。一因月自行度有遲疾也。蓋月自行遲則朔後見遲晦前，隱遲自行疾，則朔後見早晦前隱早也。夫月離正降宮度距日一十五度即可見，以每日平行一十二度有竒計之，則朔後一日有餘即見生明於西。是故合朔如在甲日亥子之間，月離正升宮度距黃道北而又行遲厯則甲日太陽未出，亦見東方月離正降宮度，距黃道北而又行疾厯，則乙日太陽已入亦見西方矣。 |
| 33 | 御製厯象考成，上編論恒星東行。恒星行即古歲差也。古謂恒星不動而黃道西移。今謂黄道不動而恒星東行，蓋使恒星不動而黃道西移，則恒星之黃道經緯度宜每歲不同，赤道經緯度宜終古不變。今測恒星之黃道經度，每歲東行而緯度不變，至於赤道經度，則逐歲不同，而緯度尤甚。自星紀至鶉首六宮，星在赤道南者，緯度古多而今漸少。在赤道北者，緯度古少而今漸多。自鶉首至星紀六宮，星在赤道南者，緯度古少而今漸多。在赤道北者，緯度古多而今漸少。凡距赤道二十三度半，以內之星在赤道北者，皆可以過赤道南。在赤道南者亦可以過赤道，北則恒星循黃道東行，而非黃道之西移，明矣。新法厯書載西人第谷以前，恒星東行之數，或云百歲而行一度，或云七十餘年而行一度。或云六十餘年而行一度，隨時修改，與古累改歳差之意同。迨第谷定恒星每歲東行五十一秒，約七十年有餘而行一度，而元郭守敬所定亦為近之，至今一百四十餘年，驗之於天，雖無差忒，但星行微渺，必厯多年，其差乃見。然則第谷所定之數，亦未可泥為定凖，惟隨時測驗，依天行以推其數可也。 |
| 34 | 御製厯象考成。上編論測恒星。 |
| 35 | 恒星東行既依黃道，則測定一年之黃道經緯度，而逐年之黃道經緯度皆視此矣。然欲測諸恒星必以一星作距，而欲測黃道經緯度，必以赤道經緯度為宗。蓋諸曜隨天左旋，惟赤極不動。其經緯既與黃道相當，又與地平相應，時刻之早晚於是乎紀，太陽之躔次於是乎辨，非赤道則黃道無從而稽也。其法擇恒星之大者，測其方中時刻及正午高弧，乃以本時太陽赤道經度與太陽距午正赤道經度相加，即星之赤道經度。又以正午高弧與赤道高度相減，即星之赤道緯度既得赤道經緯度，則用弧三角法推得黃道經緯度。既得一星之黃赤經緯度，即以此一星作距。或用黃道赤道諸儀，測其相距之經緯，或用地平象限諸儀，測其偏度及高弧，而諸星之黃赤經緯度皆可得矣。要之，測恒星之法，先測一星為凖，而此星經度，必取定於太陽，倘於時刻差四分，則於天行差一度，故須參互考驗，方得密合，或用太隂及太白比測者，然皆有視差，不如用太陽之確凖也。 |
| 36 | 御製厯象考成上編論恒星出入地平，恒星隨宗動天東出，西入旋轉有常。因節氣有冬夏晝夜有永短，人居有南北，故所見恒星出入地平之時刻，因時各異，隨地不同也。夫逐時皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之時刻，可以測候而得，亦可以推步而知。其法用本地北極高度及本星赤道經緯度，求得本星與赤道同出入地平之度，乃與本時太陽赤道經度相減，即得本星出入地平之時刻也。 |
| 37 | 御製厯象考成上編論弧三角形。 |
| 38 | 弧三角形者，球面、弧線所成也。古厯家有黃赤相凖之率，大約就渾儀度之，僅得大概，未能形諸算術。惟元郭守敬以弧矢命算黃赤相求，始有定率，視古為密，但其法用三乗方取數甚難。自西人利瑪竇湯若望等繙譯厯書，始有曲線三角形之法。三，弧度相交成三角形，其三弧三角各有相應之八線，弧與弧相交，即線與線相遇，而勾股比例生焉，於是乎有黃道可以知赤道有赤道可以知黃道有經可以知緯有緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而極矣。 |
| 39 | 正弧三角形必有一直角者，蓋因南北二極為赤道之紐，皆距赤道九十度，故凡過南北二極經圈與赤道交所成之角俱為直角，其相當之弧皆九十度。又凡有一圈即有兩極，其過兩極經圈與本圈相交，亦必為直角。其所成三角形，必皆為正弧三角形。夫正弧三角形所知之三件弧角相對者，用弧角之八線所成勾股為比例，而弧角不相對者，則用次形，蓋以弧角之八線所成勾股，比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所成，故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也。其法可易弧為角，易角為弧。邊與角雖不相對，可易為相對。且知三角即可以求邊，其理實一以貫之也。 |
| 40 | 弧三角之有斜弧形，猶直線，三角之有鋭鈍形也。但直線三角之鋭鈍，形惟二種一種，三角俱鋭一種一鈍，兩鋭而斜弧形則不然，或三角俱鋭，或三角俱鈍，或兩鋭一鈍，或兩鈍一鋭其三邊或俱大，過於九十度，或俱小不及九十度，或兩大一小，或兩小一大參錯成形，為類甚多。而新法厯書所載推算之法，益復繁雜難稽。蓋三角三邊各有八線，但線與線之比例相當，即可相求。是故或同步一星，或同推一數，而所用之法彼此互異，遂使學者莫知所從。兹約以三法求之，無論角之鋭鈍，邊之大小，並視先所知之三件為斷。其一先知之三件有相對之邊角，又有對所求之邊角，則用邊角比例法。其一先知之三件，有相對之邊角，而無對所求之邊角則用垂弧法。其一先知之三件，無相對之邊角，則用總較法。明此三法，則斜弧之用已備。而七政之升降出沒，經緯之縱橫交加，無不可推測而知矣。 |
| 41 | 等謹按：考成上編首論儀象，次即詳弧三角形，備列綱領條目圖說及相求比例總較之法，誠以日躔、月離、日食、月食、五星、恒星，皆藉是以推步焉。兹録總論及分論正、斜形各一篇，其神明簡易之妙用可概見云。 |
| 42 | 御製厯象考成後編論歲實日行天一周為歲周歲之日，分為歲實。古法日行一度，故周天為三百六十五度四分度之一，歲實為三百六十五日四分日之一。堯典曰：朞三百有六旬有六日」。杜預謂舉全數而言，則有六日，其實五日四分日之一是也。漢末劉洪始覺冬至後天以為歲實太強，減歲餘分二千五百為二千四百六十二晉虞喜，宋何承天、祖沖之謂歲當有差，乃損歲餘以益天周歲差之法，由斯而立。元郭守敬取劉宋大明戊寅以來相距之積日時刻，求得歲實為三百六十五日二千四百二十五分，比四分日之一減七十五分，而天周即為三百六十五度二千五百七十五分矣。西法周天三百六十度，第谷定歲實為三百六十五日，五時三刻三分四十五秒，以周日一萬分通之，得三百六十五日二四二一八七五，較之郭守敬又減萬分之三。有竒以除周天三百六十度，得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒，歲差則謂恒星每年東行五十一秒，不特天自為天歲，自為歲，而星又自為星，其理甚明。後西人柰端等屢測歲實，又謂第谷所減太過，酌定歲實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四十一，微三十八，纎二忽二十六芒五十六塵，以周日一萬分通之，得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五。比第谷所定多萬分之一，有竒以除周天三百六十度，得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纎四十三忽二十二芒零三塵，比第谷所定少五纎有竒，每年少三十微有竒。蓋歲實之分數增，則日行之分數減。據今表推雍正元年癸夘天正冬至比第谷，舊表遲二刻，日躔平行，根比舊表少一分一十四秒，而第谷去今一百四十餘年。以數計之，其差恰合。是亦取前後兩冬至相距之積日時刻而均分之，非意為增損也。 |
| 43 | 御製厯象考成後編論黃赤距緯，黃赤距緯，古今所測不同。自漢以來，皆謂黃道出入赤道南北二十四度，元郭守敬所測為二十三度九十分三十秒，以周天三百六十度每度六十分約之，得二十三度三十三分三十二秒，第谷所測為二十三度三十一分三十秒，康熙五十二年。 |
| 44 | 皇祖聖祖仁皇帝命和碩莊、親王等率同儒臣於暢春園䝉養齋開局，測太陽高度得黃赤大距為二十三度二十九分三十秒。今監臣戴進賢等厯考西史，第谷所測，蓋在明隆、萬時，而漢時多祿畝所測為二十三度五十一分三十秒，較第谷為多。我朝順治年間刻白爾改為二十三度三十分，後利酌理，噶西尼又改為二十三度二十九分，俱較第谷為少，其前後多少之故。或謂諸家所用蒙氣差、地半徑差之數各有不同，故所定距緯亦異。然合中西考之第谷以前，未知有蒙氣差而多祿畝，與古為近。至郭守敬則與第谷相若而去，多祿畝則有十數分之多，康熙年間所用䝉氣差地半徑差，俱仍第谷之舊，與刻白爾噶西尼等所用之數不同，而所測大距又相去不逺。由此觀之，則黃、赤距度，古今實有不同，而非由於所用差數之異，所當隨時考測，以合天也。 |
| 45 | 御製厯象考成後編論地半徑差。噶西尼等謂：日天半徑甚逺，無地半徑差，而測量所係，只在秒微，又有䝉氣雜乎其內最為難定。因思日月星之在天，惟恒星無地半徑差，若以日與恒星相較，可得其凖，而日星不能兩見，是測日不如測五星也。土木二星在日上，去地尤逺，地半徑差愈微。金、水二星雖有時在日下，而其行繞日逼近日光，均為難測。惟火星繞日而亦繞地，能與太陽衝，故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之，同與一恒星相較。其距恒星若相等，則是無地半徑差。若相距不等，即為有地半徑差，其不等之數即兩處地半徑差之較。且火星衝太陽時，其距地較太陽為近，則太陽地半徑差必更小於火星地半徑差也。噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半徑差為二十五秒，比例得太陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒，驗之交食果為脗合，近日西法並宗其說。今用所定地半徑差求地半徑與日天半徑之比例，中距為一與二萬零六百二十六，最高為一與二萬零九百七十五，最卑為一與二萬零二百七十七，以求地平上最大之地半徑差最高為九秒五十微，最卑為一十秒一十㣲。 |
| 46 | 御製厯象考成後編論日月實徑，從來算家謂日月之在天，其實徑原為一定之數，而視徑之大小，則因距地有逺近而時時不同。然所謂實徑者，仍以視徑之大小距地之逺近比例而得。今日月本天心之距地心數，皆與舊不同，則日月距地之逺近亦因之而各異。且視徑之大小，古今所測相差，惟在分秒之間，在器只爭毫釐而在數已差千百，則實徑究亦未有一定之數也。西法以日實徑為地徑之五倍有餘，中距日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百四十二，月實徑為地徑百分之二十七強，中距朔望時月天半徑與地半徑之比例，為一與五十六又百分之七十二。上編仍之，以推最高日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百六十二，最卑日天半徑與地半徑之比例，為一與一千一百二十一最高。朔望時月天半徑與地半徑之比例，為一與五十八又百分之一十六。最卑、朔望時月天半徑與地半徑之比例，為一與五十四又百分之八十四。今監臣戴進賢等據西人近年所測日天半徑與地半徑之比例最高，為一與二萬零九百七十五，中距為一與二萬零六百二十六，最卑為一與二萬零二百七十七。月天半徑與地半徑之比例最高為一與六十三又百分之七十七中距為一與五十九又百分之七十八，最卑為一與五十五又百分之七十九。又用逺鏡儀測得日視徑最高為三十一分四十秒，中距為三十二分一十二秒，最卑為三十二分四十五秒，月視徑最高為二十九分二十三秒，中距為三十一分二十一秒，最卑為三十三分三十六秒。用此數推算日實徑為地徑之九十六倍又十分之六，月實徑為地徑百分之二十七，小餘二六強。夫月實徑與舊大致相符，而日實徑差至十九倍者。蓋今所測日距地數比舊原大十八倍餘，則日實徑比舊大十九倍止為大十八分之一。故今之日視徑亦比舊大十八分之一。是則視徑之大小固各得之實測，要亦合諸推算，以成一家之言。至於日體純陽，其光恒溢於常徑之外。新法算書謂周圍皆大一分，今說謂大一十五秒，故推日食之法必於併徑內減去太陽光分一十五秒，餘與視緯相較，方為受食之分，而日之本徑則仍帶光分算，其理固應爾也。 |
| 47 | 御製厯象考成後編論日月影半徑及影差日月兩地半徑差相併，即與日半徑影半徑相併之數等，而日月地半徑差及日半徑，皆推交食所必用之數，且又皆由距地之高卑逺近而生，故近日西法皆不用另求影半差。惟以日、月兩地半徑差相加，內減去日半徑餘，即為實影半徑以影差已在其中也。此外又有視影之說，蓋以地上有蒙氣差能映小為大，則太陽實徑必小，於視徑實徑小則影大矣。又月食時日在地下，䝉氣轉蔽日光，則地影視徑必尤大於實徑。計其所大之分，約為太隂地平徑差六十九分之一，故又以此為影差，與實影半徑相加為視影半徑，則所謂影差者，名雖同而義實異也。總之算家立說，古今不必相同，然測驗皆期於合天，而推步必歸於有據。舊說謂太陽有光分能侵地，影使小今說謂地周有䝉氣能障地影使大，此亦極不同之致矣。然最大影半徑舊為四十六分四十八秒，今為四十六分五十一秒，相差不過三秒，最小影半徑舊為四十二分三十八秒，今為三十八分二十八秒，相差四分有餘。蓋地影之大小，固由於太陽距地之逺近及太隂距地之高卑，而太隂所關為尤重，最卑太隂距地。今昔相差，不過百分地半徑之九十五，最高太隂距地則相差至百分地半徑之五百六十一。夫月之距地，既因兩心差而不同，則月徑與影徑遂亦因之而各異，要皆據一時之所測，設法推步以求合，而非為臆說也。 |
| 48 | 御製厯象考成後編，論清蒙氣差，監臣戴進賢等厯考西史。第谷所定地平，上䝉氣差，其門人刻白爾，即謂失之稍大，而猶未定有確數，至噶西尼始從而改正焉。其說謂䝉氣繞乎地球之周，日、月星照乎蒙氣之外，人在地面為䝉氣所映，必能視之使高，而日月星之光線入乎䝉氣之中，必反折之使下。故光線與視線在蒙氣之內則合而為一，䝉氣之外則岐而為二。此二線所交之角，即為䝉氣差角第谷已悟其理，然猶未有算術。噶西尼反覆精求，謂視線與光線所岐雖有不同，而相合則有定處，自地心過所合處作線，抵圜周，則此線即為蒙氣之割線。視線與割線成一角，光線與割線亦成一角。二角相減，即得䝉氣差角。爰在北極出地高四十四度處，屢加精測，得地平上最大差為三十二分一十九秒，䝉氣之厚為地半徑千萬分之六千零九十五，視線、角與光線角正弦之比例，常如一千萬與一千萬零二千八百四十一用。是以推逐度之蒙氣差至八十九度，尚有一秒。驗諸實測，較第谷為密，近日西法並宗之。 |
| 49 | 御製厯象考成後編，論太陽行度，欽若授時以日躔為首務，蓋日出而為晝，入而為夜，與月㑹而為朔行，天一周而為歲歲月日，皆於是乎紀。故堯典以賔餞永短定治厯之大經，萬世莫能易也。其推步之法，三代以上不可考。漢、晉諸家，皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天。自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率。隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降，厥法加詳。至元郭守敬乃分盈縮、初末四限，較前代為密。西法自多祿畝以至第谷，則立為本天高卑、本輪均輪諸說用三角形推算。近世西人刻白爾噶西尼等，更相推考，又以本天為撱圓，均分其面積為平行度，與舊法迥殊。然以求盈縮之數，則界乎本輪、均輪所得數之間，蓋其法之巧合。雖若與第谷不同，而其理則猶是本天高卑之說也。至若歲實之轉增距緯，與兩心差之漸近地半徑差，䝉氣差之互為大小，則亦由於積候損益舊數，以成一家之言，今用其法。 |
| 50 | 太陽之行有盈縮，由於本天有高卑，春分至秋分行最高半周，故行縮而厯日多。秋分至春分行最卑半周，故行盈而厯日少。其說一為不同心，天一為本輪而不同心，天之兩心差即本輪之半徑，故二者名雖異而理則同也。第谷用本輪以推盈、縮差，惟中距與實測合，最高前後則失之小，最卑前後則失之大。又最高之高於本天半徑最卑之卑於本天半徑者，非兩心差之全數而止。及其半，故又用均輪以消息乎其間。而後高卑之數，盈縮之行，與當時實測相合，然天行不能無差。元郭守敬定盈縮之最大差為二度，四○一四以周天三百六十度每度六十分約之，得二度二十二分。第谷所定之最大差為二度零三分一十一秒，刻白爾以來屢加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二秒。又以推逐度之盈縮差最高前後本輪固失之小矣。均輪又失之大最卑前後，本輪固失之大矣。均輪又失之小，乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日平行之度。則高卑之理既與舊說無異，而高卑前後盈縮之行乃俱與今測相符。凡平圓面積自中心分之，其所分面積之度，即其心角之度，以圜界為心角之規，而半徑俱相等也。若撱圓有大小，徑角與積已不相應矣。況實行之角平行之積，皆不以本天心為心，而以地心為心。太陽距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等，又何以知積之為度而與角相較乎？然以大小徑之中率作平圓，其面積與撱圓等將平圓面積逐度遞析之，則度分秒皆可按積。而稽撱圓之全積，既與平圓全積等，則其遞析之面積亦必相等。故分撱圓面積雖非度亦可以度命之而度分秒，亦可按積而稽也。 |
| 51 | 御製厯象考成後編論太隂行度。 |
| 52 | 上編言太隂行度有九，其實均輪行自行度，次輪次、均輪皆行，月距日倍度，則行度止六而已。自西人刻白爾創為撱圓之法，專主不同，心天而不同心。天之兩心差及太隂諸行，又皆以日行與日天為消息，計其行度一平，均用日引度。二平均最高，均用日距月最高之倍度，三平均正交均用日距正交之倍度，初均仍用自行度二均，仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度，交角用日距正交，兼月距日度皆實測之數，而要不離乎本天高卑中距四限與朔、望兩弦前後參互比較而得之。 |
| 53 | 太隂之行有遲疾，由於本天有高卑，其說一為不同心，天一為本輪與太陽同，自刻白爾創為撱圓之法，專主不同，心天而不同心，天之兩心差及最高行又隨時不同，惟日當月天中距時最大遲疾差為四度五十七分五十七秒，兩心差為四三三一九，○倍差即為八十六萬有竒，與舊數相去不逺。若日當月天最高，或當月天最卑則最大遲疾差為七度三十九分三十三秒，兩心差為六六七八二，○日厯月天高卑而後兩心差漸小，中距而後兩心差漸大，日距月天高卑前後四十五度，兩心差適中。又日當月天高卑時最高之行常速，至高卑後四十五度而止。日當月天中距時最高之行常遲，至中距後四十五度而止。與日月之盈縮遲疾相似，而周轉之數倍之。是則太隂本天之心，必更有一均輪以消息乎？兩心差及最高行之數，因以地心為心，以兩心差最大最小兩數相加折半得五，五○五○五為最高本輪半徑相減折半，得一一七三一五為最高均輪半徑。均輪心循本輪周右旋行最高平行度，本天心循均輪周右旋行日距月最高之倍度，用切線分外角法，求得地心之角為最高均數即最高行之差。求得兩心相距之邊為本天心距地數，即本時之兩心差也。而其測量諸均數，則必在高卑中距或高卑中距之間，其數乃整齊而易。辨要之測得高卑中距之差，則兩心差之數已見，而求得兩心差之數，則高卑中距之差悉合矣。 |
| 54 | 太隂初均數生於兩心差兩心差不等，則均數亦不等，然於平行無與也。自刻白爾以本天為撱圓，以平行為面積，則兩心差不等，而撱圓之面積與太隂之平行，亦因之不等。蓋兩心差大者小徑之數小，而面，積亦小。兩心差小者小徑之數，大而面，積亦大。故分撱圓之度數雖同，而度之面積各異，非先求其面積，無以求度數也。今取兩心差之，大中小三數，求其小徑及面積，以定平行而後均，數可得而推也。 |
| 55 | 舊法用本輪、均輪推初均數，日躔、月離數雖不同，而其法則一也。自刻白爾，以平行為撱圓面積，求實行噶西尼等立借角求角之法，亦極補凑之妙矣。然日、天兩心差為本天半徑千萬分之一十六萬餘，所差之最大者不過百分秒之六十六，月天兩心差最大者為本天半徑千萬分之六十六萬餘。若仍用日躔之法，則其差之最大者即至四十秒，雖於數不為疎，而於法則猶未密。故又立用兩三角形之法。先以半徑為一邊，兩心差為一邊，太隂平引與半周相減，為所夾之角，求得對兩心差之小角與前所夾之角相加復為所夾之角，仍用半徑與兩心差為兩邊，求得對半徑之大角為半圓引數。次以大半徑為一率，小半徑為二率，平圓引數之正切線為三率，求得四率為正切線，得實引與平引相減，餘為初均數。依日躔借積求積法，細推之，其差之最大者不過一十秒，較借角求角之法為密。云舊法推步，朔望惟用初均數刻白爾以來奈端等屢加測驗，謂日在最卑後則太隂平行常遲，最高平行正交平行常速。日在最高後太隂平行常速，最高平行正交平行常遲。因定日在中距太隂平行差一十一分五十秒，最高平行差一十九分五十六秒，正交平行差九分三十秒。其間逐度之差，皆以太陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例，名曰一平均。蓋太陽平行，自子正隨天左旋復至子正，是為一日月距日一日順行一十二度餘，最高一日順行六分餘，正交一日退行三分，餘皆隨太陽平行為行度，故為平行。而太隂二均生於月距日之倍度最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度，皆以太陽實行立算。太陽實行有盈縮，則諸行亦隨之有進退。此因太陽右旋之盈縮而差者也。又太陽右旋加多一度，則左旋之時刻差早一度，諸行亦隨之而差早一度之行，太陽右旋減少一度，則左旋之時刻差遲一度，諸行亦隨之而差遲一度之行，此因太陽隨天左旋之遲早而差者也。由是二者，故有一平均之法，然太隂一平均則惟因左旋時差之故，最高平，均與正交正，均則兼左旋右旋兩差之故焉。以太隂一平均言之，太隂二均生於月距日之倍度，而月距日之度乃置太隂實行減太陽實行而得之。太陽右旋之度差而多，則月距日之度反差而少。太陽右旋之度差而少，則月距日之度反差而多是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也。惟是太陽左旋時刻差一度，倍月距日已差二度，太隂又隨之差二度，則平行即差四度。時差行差早者應減差遲者應加。然差早一度者，太陽未至子正一度應加一度。時差行差遲一度者，太陽已過子正一度，應減一度時，差行是差三倍時差行也。故以一小時六十分為一率。一小時月距日平行一千八百二十八秒六二為二率，太陽中距均數一度五十六分一十三秒變時得七分四十五秒為三率，求得四率二百三十六秒二○用三因之，得七百零八秒六，○收為一十一分四十九秒，為太隂。一平均太陽均數，加者為減，減者為加，是為太陽實行至子正時之太隂平行度也。以最高平均與正交平均言之最高，均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度，而日距月最高與日距正交之度，乃置太陽實行，減月最高與正交而得之太陽右旋之度加而多，則相距之度亦多。太陽右旋之度減而少，則相距之度亦少，是最高與正交之行固隨太陽右旋之盈縮為進退也。又太陽左旋之時刻差一度，日距月最高與日距正交之倍度已差二度，最高與正交又隨之差，二度則最高與正交即差四度時差行差早者應加差遲者應減。且最高均與正交均，皆隨太陽行相距之倍度。太陽實行差一度，則最高與正交亦隨之。差一度之行大陽又加倍差一度，則最高與正交又隨之差半度之行，是右旋左旋之差，皆為一倍有半，而未至子正應加已過子正應減之時，差行又其在外者也。太隂在本天，高卑雖無初均數，而太陽在本天高卑前後猶有一平均。若太陽亦在本天，高卑則並無一平均矣。奈端以來，又屢加精測，謂日天最高與月天最高同度，或相距一百八十度，日月又同在最高卑，則實行與平行合為一線，無諸均數。太陽雖在最高卑，而在月天高卑前後，則平行常遲，至高卑後四十五度而止在月天中距前後，則平行常速，至中距後四十五度而止。然積遲積速之多，正在四十五度，而太陽在最高與在最卑，其差又有不同。因定太陽在最高，距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分三十四秒，太陽在最卑距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分五十六秒，高卑後為減，中距後為加。其間日距月最高逐度之差，皆以半徑與日距月最高倍度之正弦為比例。其太陽距地逐度之差，又以太陽高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例，名曰二平均。蓋太隂本天心循最高，均輪周行，日距月最高之倍度日在月天高卑，則兩心差大，而撱圓之面積小，故平行遲也。日在月天中距，則兩心差小，而撱圓之面積大，故平行速也。日距月天高卑中距四十五度，則兩心差與撱圓之面積，皆為適中太隂平行，原以適中之數立算，故其平行無遲速也。 |
| 56 | 太陽在兩交後，平行稍遲，在大距後平行稍速，其最大差為四十七秒，名曰三平均。蓋白極在正，交均輪周，舊法謂行月距日之倍度，奈端以來，謂行日距正交之倍度，故惟太陽在兩交與大距則白極與均輪心參直，其平行無加減。太陽在兩交後，則白極在均輪心之東，而白道經圈之過黃道者，亦差而東。其黃道舊㸃所當白道度，即差而西，故平行應減而遲也。太陽在大距後，則白極在均輪心之西，而白道經圈之過黃道者，亦差而西。其黃道舊㸃所當白道度即差而東，故平行應加而速也。此其所差止在數十秒之間，雖不易得之仰觀，而實可稽之儀象。 |
| 57 | 舊法推太隂兩弦行度，止有初均二均，兩弦前後始有三均，初均之最大者四度五十八分，餘二均之最大者二度二十七分，餘三均之最大者四十二分餘，計兩弦前後最大差，共八度弱。噶西尼以來，屢加測驗，謂兩弦太隂行度止有初均三均，而三均又不盡關乎兩弦之故。二均之最大者，不在兩弦而在朔、弦、弦、望之間，其初均之最大者七度三十九分三十四秒，二均之最大者三十七分一十一秒。計兩弦前後最大差共八度強，則是今之二均固兼舊法二均三均之義，而其數則又不同。蓋太隂去地甚近，其行最著。又二十七日有竒而一周天，一月之中，備日行四時之軌，至為參錯不齊。古人惟重交食，故朔望而外，置之弗論。西人第谷始創二三均之法，其門人精測不已，又數十年然後改定，則其數必實有所據，而非為臆說也。其法定日在最高朔望前後四十五度，最大差為三十三分一十四秒，日在最卑朔望前後四十五度，最大差為三十七分一十一秒。朔望後為加，兩弦後為減。其間月距日逐度之二均，則以半徑與月距日倍度之正弦為比例。其太陽距最高逐度二均之差，又以日天高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例，與二平均同。 |
| 58 | 舊法推步朔、望兩弦皆無三均數，而三均之最大者，每在朔、弦、弦、望之間，故知三均之差，生於月距日之倍度。自噶西尼以來，以朔、弦、弦、望間之最大差屬之二均，而月距日九十度與月高距日高九十度，其差正等。月距日四十五度與月高距日高四十五度，其差又等，則是三均之差不專係乎月距日之故也。於是取月距日與月高距日高之共為九十度時測之，其差與月距日或月高距日高之獨為九十度者等。又取月距日與月高距日高之共為四十五度時測之，其差與月距日或月高距日高之獨為四十五度者等。乃知三均之差生於月距日與月高距日高之總度半周內為加，半周外為減。其九十度與二百七十度之最大差為二分二十五秒。其間逐度之差，以半徑與總度之正弦為比例，則三均之法定矣。然必日月最高同度或日月同度，兩者止有一相距之差，則止有三均。若月天最高與日天最高有距度，日月又有距度，則三均之外，朔後又差而遲，望後又差而速。及至月高距日高九十度，月距日亦九十度時無三均，而其差反最大。故知三均之外又有末均，乃將月高距日高九十度分為九限，各於月距日九十度時測之，兩高相距九十度，其差三分，漸近則漸小。其間月距日逐度、末均之差，皆以半徑與月距日之正弦為比例，朔後為減，望後為加。而後推太隂經度之法，纎悉具備。今考其所測，其數之小者，只在秒、㣲之間，其時又數十年而不一遇，然其用意細密，學者茍通乎此，何患推測之無術歟？ |
| 59 | 御製厯象考成後編論交均及黃白大距正交之行有遲疾，由於黃白大距有大小。舊法定朔望時交角最小為四度五十八分三十秒，兩弦時交角最大為五度一十七分三十秒，兩距度之較為一十九分，交均之最大者為一度四十六分零八秒。自奈端、噶西尼以來，謂日在兩交時交角最大為五度一十七分二十秒，日距交九十度時交角最小為四度五十九分三十五秒，兩距度之較為一十七分四十五秒，朔望而後交角又有加分，因日距交與月距日之漸逺，以漸而大。至日距交九十度，月距日亦九十度時加二分四十三秒，交均之最大者為一度二十九分四十二秒，皆與舊法不同。然厯家測黃白二距必於月距交九十度時。夫月距交九十度，而值朔望則日距交亦九十度，是今之謂日距交九十度交角小，猶與朔望交角小之義同也。月距交九十度而值兩弦，則日必在兩交。是今之謂日在兩交交角大，猶與兩弦交角大之義同也。惟日在兩交而又值朔望，則交角關乎食分之淺深，日距交九十度而又值兩弦，則加分關乎距緯之逺近，是必驗諸實測古今確有不同之處，參稽經緯，以成一家之言，而非輕為改定也。至其推算之法，以五十九為邊總，五十六為邊較，求得黄極之角為交均，以日距交月距日之餘弦，比例得加分與最小之交角相加為大距，亦與舊法不同。取其易於入算，故近日西士皆從之。 |
| 60 | 皇朝文獻通考》卷二百五十七 |
該資料的標點符號由人工智能製作。此過程難免引入錯誤；若遇到標點錯誤，敬請自行修改。